double arrow
I – Начало суммы (аргумент функции), то есть, ничто иначе, как начальный шаг, который в данном конкретном случае равен k

I – Начало суммы (аргумент функции), то есть, ничто иначе, как начальный шаг, который в данном конкретном случае равен k.

f(i) – какая-либо функция, зависящая от аргумента i, который в нашем случае равен k. Переменная i после каждого предыдущего сложения будет увеличиваться на единицу, пока значение в i не достигнет N. Этот принцип был исконно заложен в этот символ с самого его появления. Теперь же рассмотрим, чему же будет равна наша сумма в этом случае:

N


f(i)
i = k
∑ = f(i) + f(i+1) + f(i+2) + f(N)

Рассмотрим частный случай суммы. Будем складывать все нечетные натуральные числа до N равного 5. Для начала присвоим всем имеющимся переменным суммы нужные значения для решения нашей задачи.

Мы ограничимся 5 нечетными слагаемыми, и поэтому:

N = 5

Функция f(i) будет преобразовывать аргумент i в нечетное число.

f(i) = (i*2 – 1)

Начальному значению i мы присвоим единицу:

i = 1

Теперь расставим полученные данные исходя из принципа знака суммы:


2i - 1
i = 1
∑ = (2*1 – 1) + (2*2 – 1) + (2*3 – 1) + (2*4 – 1) + (2*5 – 1)

Таким образом, мы получили всего 5 СЛАГАЕМЫХ = от i до N (от 1 до 5) , которые составлены с помощью функции, преобразовывающей i, которая в свою очередь с каждым слагаемым увеличивается на единицу, в нечетное число.

Если же присвоить i вместо 1 любое другое натуральное число, например 2, то мы получим всего 4 слагаемых, поскольку счет начнется сразу со второго нечетного натурального числа – 3, минуя 1. Например:





2i - 1
i = 2
∑ = (2*2 – 1) + (2*3 – 1) + (2*4 – 1) + (2*5 – 1)

Также функция может указывать на конкретный элемент какого-либо множества. Например рассмотрим множество натуральных чисел - N { 1, 2, 3 … n }

n
Если мы хотим сложить все элементы этого множества друг с другом, нам потребуется указать конкретный элемент этого множества N, например

Мы знаем, что первый элемент множества N равен 1, второй – 2, и n-ый – n.

n
Функция в таком случае будет передавать аргумент, который будет использоваться в качестве указания элемента какого-либо множества –

i
f(i) = И теперь возможно составить сумму этих элементов множества N:


i
n
i = 1
∑ = 1 + 2 + 3 … + n

Таким образом, наша формула будет суммировать множество натуральных чисел до бесконечности. То есть, эту сумму можно назвать никак иначе, как сумма множества натуральных чисел.



В произведении ∏ все выполняется аналогичным образом с одним лишь отличием: вместо суммы это будет произведение. Рассмотрим на примере того же множества натуральных чисел N:


n
i
i = 1
∏ = 1 * 2 * 3 … * n

Что считается произведением множества натуральных чисел.

f(i) – какая-либо функция, зависящая от аргумента i, который в нашем случае равен k. Переменная i после каждого предыдущего сложения будет увеличиваться на единицу, пока значение в i не достигнет N. Этот принцип был исконно заложен в этот символ с самого его появления. Теперь же рассмотрим, чему же будет равна наша сумма в этом случае:

N


f(i)
i = k
∑ = f(i) + f(i+1) + f(i+2) + … + f(N)

Рассмотрим частный случай суммы. Будем складывать все нечетные натуральные числа до N равного 5. Для начала присвоим всем имеющимся переменным суммы нужные значения для решения нашей задачи.

Мы ограничимся 5 нечетными слагаемыми, и поэтому:

N = 5

Функция f(i) будет преобразовывать аргумент i в нечетное число.

f(i) = (i*2 – 1)

Начальному значению i мы присвоим единицу:

i = 1

Теперь расставим полученные данные исходя из принципа знака суммы:


2i - 1
i = 1
∑ = (2*1 – 1) + (2*2 – 1) + (2*3 – 1) + (2*4 – 1) + (2*5 – 1)

Таким образом, мы получили всего 5 СЛАГАЕМЫХ = от i до N (от 1 до 5) , которые составлены с помощью функции, преобразовывающей i, которая в свою очередь с каждым слагаемым увеличивается на единицу, в нечетное число.

Если же присвоить i вместо 1 любое другое натуральное число, например 2, то мы получим всего 4 слагаемых, поскольку счет начнется сразу со второго нечетного натурального числа – 3, минуя 1. Например:


2i - 1
i = 2
∑ = (2*2 – 1) + (2*3 – 1) + (2*4 – 1) + (2*5 – 1)

Также функция может указывать на конкретный элемент какого-либо множества. Например рассмотрим множество натуральных чисел - N { 1, 2, 3 … n }

n
Если мы хотим сложить все элементы этого множества друг с другом, нам потребуется указать конкретный элемент этого множества N, например

Мы знаем, что первый элемент множества N равен 1, второй – 2, и n-ый – n.

n
Функция в таком случае будет передавать аргумент, который будет использоваться в качестве указания элемента какого-либо множества –

i
f(i) = И теперь возможно составить сумму этих элементов множества N:


i
n
i = 1
∑ = 1 + 2 + 3 + … + n

Таким образом, наша формула будет суммировать все элементы множества натуральных чисел до бесконечности. То есть, эту сумму можно назвать никак иначе, как сумма ВСЕХ элементов множества натуральных чисел.

В произведении ∏ все выполняется аналогичным образом с одним лишь отличием: вместо суммы это будет произведение. Рассмотрим на примере того же множества натуральных чисел N:


n
i
i = 1
∏ = 1 * 2 * 3 * … * n

Что считается произведением множества натуральных чисел.






Сейчас читают про: