Спектр частотно – модулированных колебаний

При частотной модуляции амплитуда несущих колебаний остается постоянной, а частота изменяется в соответствии с сигналом сообщения.

Рассмотрим простой случай модуляции, когда сигнал сообщения гармонический, тогда радиосигнал будет иметь вид

ω (t)= ω₀ + kU_mccos Ω t, (3.16)

где ω₀ – частота несущей;

U_mc – амплитуда сигнала сообщения;

Ω – частота сигнала сообщения;

k - коэффициент пропорциональности

Величину kU_mc обычно обозначают ∆ω_max, т.е. как приращение частоты несущей, пропорциональное величине сигнала сообщения, тогда

ω (t)= ω₀ + ∆ω_max cos Ω t (3.17)

Величину ∆ω_max называют девиацией частоты несущей (от латинского слова «deviation» - уклонение) и обозначают

∆ω_max =∆ω_дев , (3.18)

Для определения мгновенного значения частотно – модулированного сигнала используют зависимость его от фазы колебания

U_ЧМ(t) = U_O cos q (t), (3.19)

где U_O – амплитуда несущей

Зная, что частота ω есть производная от угла поворота, значение μ (t) получится из выражения

μ(t) (3.20)

После интегрирования получаем

μ(t)μ_о, (3.20)

где μ_о – постоянная интегрирования;

=m_Ω – индекс частотной модуляции.

Выбрав начало отчета так, чтобы при t=0, μ(t)=0, получим μ_о =0.

Подставив значение фазы из (3.20) в (3.19), получим

U_um (t) =Uo cos (ω₀t +m_Ω sin Ω t) (3.21)

Используя зависимость косинуса двух углов, приведем выражение (3.21) к следующему виду:

U_им(t) = U₀cosω₀t ^. cos (m_Ωsin Ω t) - U₀sinω₀t ^. sin (m_Ωsin Ω t) (3.22)

Для получения спектра частотно – модулированных колебаний функции cos (m_Ωsin Ω t) и sin (m_Ωsin Ω t) разлагают в ряд Фурье, коэффициентами которого являются функции Бесселя первого рода n –го порядка g_n(m_Ω), аргументом которых является индекс частотной модуляции m_Ω.

Это разложение имеет вид

sin (m_Ωsin Ω t) = 2g₁(m_Ω) sin Ω t + 2 g₃ (m_Ω) sin3Ω t + 2 g₅ (m_Ω) sin5 Ω t +…... cos (m_Ωsin Ω t) = g_o (m_Ω) + 2g₂(m_Ω) cos2Ω t + 2 g₄ (m_Ω) cos4Ω t + … (3.23)

Из (3.23) следует, что спектр частотно – модулированного колебания при гармоническом сигнале сообщения состоит из бесконечного ряда составляющих с частотами ω₀, ω₀ ± Ω, ω₀ ± 2Ω, ω₀ ± 3Ω и т.д. и амплитудами, определяемыми значениями функций Бесселя g_n(m_Ω).

Чем больше значение индекса модуляции m_Ω, тем шире спектр ЧМ – сигнала.

На практике считают, что спектр ЧМ – сигнала достаточно точно воспроизводятся несущей частотой ω₀ и числом боковых частот, равных 2 (m_Ω + 1), т.е.

∆ω_им = 2 (m_Ω + 1) Ω (3.24)

Из (3.24) следует, что для передачи сообщений с максимально высокой частотой Ω_max требуется полоса частот аппаратуры существенно шире (т.е. 2 (m_Ω + 1) Ω _max), чем при амплитудной модуляции, где полоса частот равна 2Ω _max, т.е. аппаратура должна быть более широкополосной, что затрудняет увеличение числа каналов при многоканальной радиосвязи.

Лекция 4