Геометрические характеристики 6 страница

откуда , (г)

что с учетом уравнения (1.69) при ξ=ξ_R принимает вид: , (д)

где аналогично уравнению (1.69) величина α_R может быть определена в виде:

. (1.77)

Тогда с учетом уравнения (д) уравнение (в) принимает вид

. (е)

Из уравнения (е) можно определить площадь арматуры в сжатой зоне элемента в виде:

. (1.78)

Величину площади A_s1 следует определять по расчетной схеме (см. рис. 1.25в), проектируя все силы на ось «z»:

, откуда с учетом x= x_R получаем

, (з)

что по структуре совпадает с уравнением (1.72), поскольку принятые расчетные схемы также тождественны.

Величину площади следует определять по расчетной схеме рис. 1.25г, используя уравнение равновесия в виде:

,

откуда

. (ж)

Полную площадь поперечного сечения арматуры в растянутой зоне элемента следует определять по уравнению (г) с учетом определенных A_s1 и A_s2 по уравнениям (з) и (ж) в виде:

. (1.79)

Таким образом величину «х» мы определили из условия x= x_R (т.е. ξ=ξ_R), величину площади ненапряженной арматуры в сжатой зоне (A'_s) по формуле (1.78), а площадь арматуры в растянутой зоне проектируемого элемента по формуле (1.79), что позволяет считать решение законченным.

Однако поскольку в расчетной схеме (рис.1.25 б) была принята величина x/2>a'_s, то приведенное решение справедливо только при выполнении этого допущения.

Проверку этого условия следует выполнять после вычисления площади поперечного сечения ненапрягаемой арматуры в сжатой зоне (A'_s), назначения размеров этой арматуры (диаметров стержней, проволоки или канатов), определения с учетом нормативных требований толщины защитного слоя и затем окончательного уточнения соблюдения условия

x/2>a'_s, (1.80)

Если это условие не выполняется, то нормы рекомендуют составлять условие прочности, используя уравнение равенства суммы моментов относительно центральной оси х₂, проходящей через центр приложения равнодействующей усилий в арматуре и бетоне сжатой зоны элемента и перпендикулярной оси симметрии поперечного сечения, то есть (см.рис.1.25 а, б)

,

откуда следует

. (1.81)

То есть площадь A_s следует определять непосредственно из уравнения (1.81)

Таким образом, площади арматуры и в сжатой, и в растянутой зонах следует считать установленными.

В дальнейшем следует подобрать размеры поперечных сечений стержней (проволоки или канатов), назначить толщину защитного слоя и выполнить проверки по нормальности армирования, согласно формуле (1.60), а затем и по минимальному проценту армирования (см. формулу (1.54)).

7.2.4 Расчет на прочность железобетонных элементов прямоугольного сечения с двойной напряженной арматурой

Согласно состоянию 7 (см. рис. 1.19-7) работа предварительно напряженного элемента (с арматурой в растянутой от внешних нагрузок зоне элемента) качественно не отличается от работы элемента с ненапряженной арматурой.

Поэтому при расчете элемента с двойной арматурой, когда напряженная арматура установлена только в растянутой от внешних нагрузок зоне, можно использовать решение, полученное для элементов с двойной ненапряженной арматурой. Однако поскольку расчетные характеристики прочности ненапрягаемой и напрягаемой арматуры различны (R_S и R_Sp соответственно), то в указанное решение следует внести необходимые коррективы.

С учетом сказанного, площадь поперечного сечения напряженной арматуры в растянутой зоне проектируемого элемента можно определить по формуле, аналогичной формуле (1.79), а именно:

, (1.79)

Площадь ненапряженной арматуры в сжатой зоне элемента (A'_s) следует определять по формуле (1.78).

Если в сжатой от внешних нагрузок зоне элемента предусмотрена напряженная арматура (A'_sp), то она решает задачу повышения трещиностойкости при выполнении операции предварительного обжатия бетона растянутой зоны. Руководствуясь рекомендациями СП52-102-2004 (см. п.п.3.1.3.1 и 3.1.3.2) размеры этой напряженной арматуры рассчитывают как при внецентренном сжатии, считая усилия в напрягаемой арматуре (и в сжатой, и в растянутой зонах) как суммарную внешнюю нагрузку.

После определения размеров напряженной арматуры в сжатой зоне (A'_sp) следует определить площадь поперечного сечения ненапрягаемой армтуры в сжатой зоне (A'_s) по формуле (1.78), затем рассчитать площадь напрягаемой арматуры в растянутой зоне элемента (A_sp), используя формулу (1.82).

Дальнейший расчет следует выполнять как для элементов с двойной арматурой в растянутой и сжатой зонах, используя уравнения (1.65-1.66), где известными являются рассчитанные величины A'_sp, A_sp, A'_s, а неизвестными (т.е. подлежащими определению) – величины А_s и «х».

Следует учитывать, что согласно нормативным требованиям, напряжение σ_sc, возникающее в напряженной арматуре сжатой зоны элемента, не должно превышать R_sc, во-первых, а во-вторых, его величина зависит от условий работы бетона и должна быть принята в виде:

σ_sc =(500 - σ'_sp,)– при продолжительном действии нагрузки, когда g_b1 =0,9;

σ_sc =(400 - σ'_sp,)– при продолжительном действии нагрузки, когда g_b1 =1,0.

При этом величину σ'_sp (напряжение предварительного натяжения арматуры в сжатой зоне элемента) следует увеличивать в «g_sp» раз, принимая g_sp= 1,1.

Затем после определения размеров поперечных сечений арматуры подбирают размеры стержней, проволоки или канатов.

Наконец, выполняя проверку по оптимальному армированию (согласно формуле (1.60)) и по минимальному проценту армирования (согласно формуле (1.54)) устанавливают окончательные размеры арматуры проектируемого элемента.

7.2.5 Расчет на прочность железобетонных изгибаемых элементов таврового поперечного сечения с одинарной арматурой

Изгибаемые элементы таврового, двутаврового и др. подобных сечений применяют как самостоятельные сборные конструктивные элементы, либо в составе монолитных (или сборно-монолитных) ребристых перекрытий или покрытий (рис.1.26).

Рис.1.26 Сборно-монолитное покрытие с тавровым поперечным сечением

а - общая схема; б - полка в сжатой зоне;

в – полка в растянутой зоне;

г – основные размеры сечения.

По сравнению с прямоугольным тавровое сечение более экономично, т.к. в нем уменьшены размеры в растянутой зоне элемента, бетон который практически весьма мало влияет на несущую способность элемента.

Напряжения в полках тавровых балок уменьшаются по мере приближения к краям полок, поэтому нормы (см. п.3.1.2.8 СП52-102-2004) рекомендуют в расчетах ограничивать ширину свесов (b'_f1).

В частности, ширину свеса полки в каждую сторону от ребра следует принимать не более 1/6 пролета элемента и не более:

- при наличии поперечных ребер или при h'_f≥0,1h считать b'_f1=1/2L (L- расстояние в свету между продольными ребрами);

- при отсутствии поперечных ребер (или при расстояниях между ними больших, чем расстояния между продольными ребрами) и при h'_f<0,1h следует считать b'_f1= 6∙ h'_f;

- при консольных свесах полки:

если h'_f≥0,1h, то считать b'_f1= 6∙ h'_f;

если 0,05h ≤ h'_f<0,1h, то считать b'_f1= 3∙ h'_f;

если h'_f<0,05h, то свесы не учитывают в расчете.

При расчете элементов с тавровым поперечным сечением принято различать два варианта расчета, алгоритмы выполнения которых зависят от положения нейтральной оси по высоте сечения.

Рассмотрим эти варианты.

7.2.5.1 Расчет элемента с тавровым поперечным сечением при положении нейтральной оси в полке тавра

Этот вариант расчета имеет место тогда, когда нейтральная ось (линия) расположена в пределах высоты полки поперечного сечения.

Расчетная схема для этого варианта приведена на рис.1.27

Рис.1.27 Расчетная схема элемента таврового сечения с одинарной арматурой

Условие расположения нейтральной линии в полке поперечного сечения имеет вид:

, (1.83)

что практически означает превышение центрального усилия, создаваемого расчетным сопротивлением бетона сжатой зоны, над величиной, обеспечивающей равновесие всех сил в расчетном сечении.

В этом случае предельный момент определяют из уравнения

,

откуда аналогично расчету элемента с прямоугольным поперечным сечением, используя зависимости (1.69) и (1.71) можно получить

, (1.84)

Затем по формуле (1.70) следует подсчитать величину ξ. И, наконец, по формуле (1.72) можно подсчитать площадь арматуры А_s, принимая во внимание, что ширина сечения сжатой зоны равна b'_f. Тогда

, (1.85)

По полученному значению A_s (или A_sp, если установлена одинарная напрягаемая арматура) выполняют подбор стержневой, проволочной или канатной арматуры.

7.2.5.2 Расчет элемента таврового поперечного сечения при положении нейтральной оси на ребре тавра

При пересечении нейтральной осью ребра таврового поперечного сечения расчетная схема принимает вид, изображенный на рис.1.28

Рис. 1.28 Расчетная схема балки таврового сечения изгибаемого элемента с одинарной арматурой

Этот расчетный случай имеет место, когда условие (1.83) не выполняется. Для рассматриваемого случая уравнения равновесия имеют вид:

; (а)

;

откуда

. (б)

Фактически суммарный предельный момент () может быть представлен в виде суммы. Тогда условие прочности принимает вид

, (в)

где - предельный момент, воспринимаемый свесами таврового поперечного сечения;

- предельный момент, воспринимаемый удлиненным ребром поперечного сечения.

Таким образом, расчет элемента таврового поперечного сечения сведен к расчету двух совместно работающих частей:

- элемента с прямоугольным сечением размерами b×x;

- элемента с прямоугольным сечением размерами [].

Доля предельного момента, то есть воспринимаемая свесами нагрузка (), может быть определена количественно в виде

, (г)

С другой стороны, момент, воспринимаемый свесами, может быть определен из уравнения равновесия

, (д)

Тогда с учетом (г) и (д) можно рассчитать часть площади растянутой арматуры (A_s1), которая воспринимает (совместно с площадью свесов) момент . Это следует из совместного решения уравнений (г) и (д):

, (1.86)

где все составляющие известны по исходным данным проектирования.

Оставшаяся часть сечения – это прямоугольник с размерами (b×h), с рабочей высотой сечения «h₀», высотой сжатой зоны «х» и действующим моментом , определяемым из уравнений (в) и (д)

, (е)

где все составляющие, входящие в уравнение, также количественно известны

Дальнейший расчет ведут как для прямоугольного поперечного сечения размерами (b×h) и действующим моментом, определяемым согласно уравнению (е). Порядок расчета приведен в п.7.2.5.1.

Вначале определяют величину формуле, аналогичной (1.84), но с учетом влияния арматуры площадью A_s1, т.е.

. (1.87)

Затем по формуле (1.70) следует подсчитать величину ξ. Потом, используя формулу (1.85) при , подсчитывают вторую часть площади арматуры растянутой зоны A_s2, усилие в которой уравновешивает усилие, возникающее в бетонном сечении размером b×h₀, т.е.

, (1.88)

Общую величину площади арматуры в растянутой от внешних нагрузок зоне элемента определяют как сумму площадей A_s1 и A_s2:

A_s=A_s1 + A_s2:, (1.88а)

где все составляющие определены по формулам (1.86) и (1.88).

По полученному интегральному значению A_s выполняют подбор стержневой, проволочной или канатной арматуры.

И для первого, и для второго вариантов расчета, согласно требованиям нормативов, необходимо выполнить две проверки (по условию нормального армирования и по условию минимального армирования).

Первую проверку выполняют проверяя соблюдение условия (1.60), т.е. ξ≤ξ_R, где величину ξ рассчитывают по формуле (1.70). При этом проверка по первому варианту требует определения по формуле (1.84), а по второму варианту – по формуле (1.87).

То есть граничное условие для случая, когда нейтральная линия пересекает ребро таврового сечения, согласно нормам, проверяют с учетом свесов полки, как и для прямоугольных сечений размером b×h_.

Если сечение переармировано, то необходима установка арматуры в сжатой от внешних нагрузок зоне.

Вторая проверка заключена в соблюдении условия минимального армирования. Ее выполняют по уравнению

. (1.89)

Если условие (1.89) не выполняется, то необходимо принять (A_s), рассчитанное по формуле (1.89), поскольку и условие прочности, и условие нормальности армирования в этом случае уже обеспечены.

7.2.6 Расчет на прочность изгибаемых элементов таврового поперечного сечения с двойной арматурой

Двойную арматуру в тавровых сечениях изгибаемых элементов применяют по тем же причинам, что и в прямоугольных сечениях. В общем случае элемент с тавровым сечением может иметь и напряженную, и ненапряженную арматуру, как и в растянутой (A_sр, A_s), так и в сжатой (A'_sр, A'_s) от внешних нагрузок зонах элемента (см. рис.1.29.)

При проектировании площадь сечения арматуры A_s принимают по возможности меньшей, назначая ее из конструктивных соображений, так как ввиду наличия у этого вида арматуры площадки текучести она практически не оказывает влияния на трещиностойкость.

Площадь арматуры A_sр следует рассчитывать исходя из трещиностойкости растянутой зоны элемента, учитывая также, что усилие предварительного натяжения арматуры сжатой зоны (Р'₂) создает сжимающие напряжения, которые суммируясь с напряжениями сжатия от внешней нагрузки снижают несущую способность бетона сжатой зоны элемента.

С учетом сказанного, а также принимая все ранее сделанные 15 допущений (см. раздел 4) расчетная схема принимает вид (см.рис.1.29). Кроме того основной расчет следует выполнять только для арматуры A_sр, и A'_s A'_sр, и A_s, как было указано, принимают из конструктивных требований.

Рис.1.29 Схема для расчета изгибаемого элемента таврового поперечного сечения с двойной арматурой (с₁ – центр приложения усилий в растянутой зоне бетона)

В рассматриваемом общем случае (рис.1.29 а) два нетождественных уравнения равновесия первоначально принимают вид:

,

где

тогда первоначальное уравнение принимает вид:

, (а)

Второе уравнение равновесия имеет вид:

, (б)

где (в)

В случае проверочного расчета задача может быть решена достаточно просто: по уравнению (а) следует определить величину , а затем по уравнению (б) подсчитать и проверить выполнение условия прочности в виде

, (г)

считая все величины известными по исходным данным.

В случае выполнения проектировочного расчета следует иметь ввиду (как было указано ранее), что для проверки выполнения условия прочности можно составить два нетождественных уравнения равновесия, которые содержат пять неизвестных (A_s, A_sp, A'_s, A'_sp,x).

Руководствуясь рекомендациями СП52-101-2003, а также для обеспечения выполнения основных конструктивных требований следует вначале из расчета на трещиностойкость определить площадь поперечного сечения A'_sp, (площадь напряженной арматуры в сжатой от внешних нагрузок зоне), считая единственной нагрузкой усилие предварительного обжатия (с учетом всех потерь) Р'₂ (см.п. 4.4 настоящих лекций).

Расчет на трещиностойкость или (в случае наличия трещин) расчет на раскрытие трещин будет рассмотрен ниже.

Затем при выполнении проектировочного расчета по формуле (б) с учетом формул (в) и (г) определяют величину площади поперечного сечения арматуры A'_s (площадь ненапряженной арматуры в сжатой от внешних нагрузок зоне) по формуле

,(1.90)

где все величины, входящие в уравнение определены количественно.

Дальнейший расчет выполняют аналогично расчету прямоугольного сечения с двойной арматурой, когда площадь арматуры в сжатой от внешних нагрузок зоне определена.

В заключение следует отметить, что диаметр ненапрягаемой арматуры в растянутой от внешних нагрузок зоне (A_s) назначают по конструктивным соображениям из условий сварки каркасов (как правило, не менее 6 мм).

7.3 Расчет на прочность изгибаемых элементов по наклонным сечениям. Основные положения

Образование наклонных трещин в изгибаемых элементах (см.рис.1.30) обусловлено совместным действием изгибающих моментов и поперечных сил. Зоны образования трещин, их наклон, величина раскрытия и прочие особенности зависят от многих факторов (виды нагрузок, форма сечения, конструкция и вид арматуры, соотношение изгибающего момента и поперечной силы и.т.п.)

После образования наклонной трещины изгибаемый элемент оказывается разделенным на две части, но соединенные между собой в сжатой зоне бетоном над окончанием трещины, а в растянутой зоне – продольной арматурой, хомутами (поперечной арматурой) и отгибами, пересекающими наклонную трещину.

С возрастанием нагрузки разрушение изгибаемого элемента происходит по одному из трех возможных вариантов (см.рис.1.30)

Разрушение изгибаемого элемента по бетонной полосе между наклонными сечениями имеет место (рис.1.30а) при малой ширине сечения (тавровое, двутавровое, коробчатое) в зоне действия поперечных сил, когда величина одного из главных сжимающих напряжений превышает величину расчетного сопротивления бетона на сжатие (R_b).

Для устранения этого вида разрушения нормами рекомендовано повысить класс бетона или увеличить размеры поперечного сечения.

Рис.1.30 Схемы разрушения изгибаемых элементов по наклонным сечениям

Разрушение изгибаемого элемента по наклонному сечению от действия поперечных сил (рис.1.30б) происходит тогда, когда на уровне нейтральной оси касательные напряжения от поперечной силы достигают максимальных значений. Вследствие ползучести бетона касательные напряжения распределены почти равномерно по длине сечения, поэтому и раскрытие трещины происходит практически равномерно по всей ее длине. При разрушении элемента происходит смещение его частей по вертикали друг относительно друга. Такое разрушение возможно лишь при хорошо заанкеренной арматуре, препятствующей взаимному повороту частей элемента и обладающей высокой прочностью при малых пластических деформациях.

В этом случае от совместного действия нормальных и касательных напряжений разрушается бетон сжатой зоны.

Расчет на прочность по наклонным сечениям на действие перерезывающей силы выполняют в обязательном порядке, поскольку это определяет трещиностойкость рассчитываемого элемента. Для увеличения трещиностойкости элементов по наклонным сечениям устанавливают напрягаемую поперечную арматуру, выполняют отгибы на продольной напрягаемой арматуре, увеличивают количество напрягаемых элементов.

Разрушение в виде излома рассчитываемого элемента по наклонному сечению от изгибающего момента (рис.1.30в) происходит тогда, когда линейные деформации велики и нормальные напряжения, создаваемые в продольной и поперечной арматуре, полностью уравновешивают расчетный момент от внешних сил. В этом случае происходит взаимный поворот частей элемента относительно мгновенного центра вращения, который расположен в центре тяжести (точка D на рис.1.30в) сжатой зоны сечения. Бетон растянутой зоны практически не участвует в работе элемента и все растягивающие напряжения воспринимает продольная и поперечная арматура. При недостаточной анкеровке арматура выдергивается из бетона даже при сравнительно малых значениях изгибающего момента. При достаточном уровне анкеровки напряжения в арматуре достигают уровня предела текучести (физического или условного), что приводит к разгрузке арматуры и перегрузке бетона, а при дальнейшем его нагружении и к разрушению элемента. Рассмотрим указанные случаи нагружения более подробно.

7.3.1 Расчет на прочность изгибаемых элементов при действии поперечных сил по бетонной полосе между наклонными сечениями

Прочность изгибаемого элемента по наклонной бетонной полосе зависит от максимального значения поперечной силы, которая может быть воспринята наклонной полосой, находящейся под воздействием сжимающих усилий вдоль полосы и растягивающих усилий, возникающих в поперечной арматуре, пересекающей наклонную полосу. Поперечную арматуру не устанавливают в сплошных плитах, а также конструкциях, имеющих частые ребра и высоту менее 300 мм, причем только если поперечная сила по расчету воспринимается только бетоном.

Поэтому нормами (см. СП52-101-2003) рекомендовано выполнять расчет изгибаемых элементов по бетонной полосе между наклонными сечениями в качестве первичного расчета. Для этого нормы рекомендуют применять эмпирическую формулу вида

; (1.91)

где Q_p - поперечная сила от расчетной внешней нагрузки в нормальном сечении рассчитываемого элемента;

φ_b1 - эмпирический коэффициент, учитывающий положение секущей плоскости, соотношение между нормальными и касательными напряжениями в рассматриваемом опасном сечении, принимаемый равным φ_b1 =0,3, то есть постоянной величиной.

Все остальные составляющие, входящие в формулу, определены условиями проектирования рассчитываемого элемента, по изгибающему моменту.

Как следует из анализа формулы (1.91), наличие поперечной арматуры (поскольку в формуле отсутствуют какие-либо данные по арматуре) практически не влияет на выполнение условия прочности, так как согласно принятым допущениям наклонное расчетное сечение не пересекает ни одного стержня поперечной арматуры.

Если условие (1.91) не выполняется, то необходимо либо повысить класс бетона, либо реализовать мероприятия по снижению нагрузки, либо (в последнюю очередь) увеличить размеры поперечного сечения рассчиты- ваемого элемента. Последнее мероприятие приводит к значительным экономическим затратам, так как связано с заменой технологической оснастки для изготовления элемента.

В заключение следует отметить, что проверку по формуле (1.91) выполняют для сечений, расположенных не далее величины «h₀» от опоры.

7.3.2 Расчет на прочность изгибаемого элемента по наклонным сечениям на действие поперечных сил

При рассматриваемом виде расчета положение предполагаемой наклонной критической трещины (от которого и зависит расчетная схема) определяют с учетом ряда факторов, из которых основными являются геометрия конструкции (или элемента), а также схема нагружения.

Опыт эксплуатации конструкций показывает, что если величина пролета среза (от сечения, где приложена реакция опоры, до сечения, в котором расположен верхний край виртуальной наклонной трещины) составляет менее (2…2,5) h₀, т.е. согласно рис.1.31, a ≤(2…2,5) h₀, то опасная наклонная трещина проходит, как правило, от края опоры до точки приложения первой сосредоточенной силы (рис.1.31а).

Если же a >(2…2,5) h₀, то опасная наклонная трещина проходит на некотором расстоянии от опоры до точки приложения первой сосредоточенной силы (рис.1.31б).