Подмножества и доказательства

Диаграммы Венна

Можно было заметить некоторые специфические свойства операций над множествами, в особенности то свойство, что одно и то же множество может быть определено различными путями.

Далее обсудим геометрические представления множеств.

Такие представления не могут заменить доказательства, но могут быть полезны, чтобы быстро и просто убедиться, справедливо ли конкретное утверждение и, следовательно, доказательство его возможно или же оно неверно.

В этом случае можно заметить, как следует строить пример, чтобы доказать, что оно неверно. Диаграммы, которые мы будем использовать, называют диаграммами Венна (по имени английского математика Джона Венна) и строят, как это описано ниже.

Во-первых, начертим большой прямоугольник, представляющий ξ (рис. 1.1).

Во-вторых, начертим круги (или какие-либо другие подходящие замкнутые кривые) внутри прямоугольника, чтобы представить множества. Они должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены (рис. 1.2).

Точки, которые лежат внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств.

e

b

c

d

Пример 3.1. Пусть ξ = {b, c, d, e}, A = {b, c, d}, B = {c, e}. Соответствующая диаграмма изображена на рис. 1.3.

Этот рисунок полностью иллюстрирует пример 3.1, обеспечивая знание элементов ξ.

Пример 3.2. Чтобы представить множество A (В' С), начнем с общей диаграммы, показанной на рис. 1.4. Заштрихуем В' диагональными линиями в одном направлении, а С диагональными линиями в другом направлении (рис. 1.5).

Площадь с двойной штриховкой представляет собой множество
В' С.

На новой копии диаграммы заштрихуем эту область горизонтальными линиями, а А вертикальными. Вся заштрихованная на рис. 1.6 область представляет множество A (В' С).

Пример 3.3. Пусть А В = 0; это соответствует диаграмме на
рис. 1.7.

Операции пересечения, объединения, разности и дополнения позволяют нам формировать новые множества.

Однако, как правило, мы не можем сказать, как одно множество соотносится с другими.

Например, пусть даны два множества X и У; пересечение X Y в некотором смысле «меньше» (или по крайней мере не больше), чем X. Действительно, все элементы множества X Y принадлежат также множеству X.

Из этого наблюдения можно формально определить равенство множеств и различных выражений для того же самого множества.

С помощью этих определений мы также в состоянии написать подходящие логические доказательства важных фактов, относящихся к множествам.

Эти результаты, хотя и очевидны, обеспечивают подходящие ситуации, в которых можно ввести некоторые из основных способов доказательств, используемых в дальнейшем.

Определение. Пусть множества А и В таковы, что из принадлежности х A следует, что xB, Тогда говорят, что А есть подмножество В, и обозначают это как AВ.

Соответствующая диаграмма Венна изображена на рис. 1.8.

ξ

A

B

Рис. 1.8.

Далее, если существует элемент В, который не принадлежит А, то А называют собственным подмножеством В и записывают в виде:

АВ.

Это означает, что в некотором смысле В больше, чем А. При употреблении этого термина требуется проявлять осторожность.

Эти отношения могут также быть записаны в обратном порядке, или

ВА и ВA;

тогда говорят, что В — (собственное) надмножество А.

Очевидно, что для любого множества А справедливы следующие три соотношения:

øA, AA, A.

Второе из них является наиболее важным.

Говорят, что множества А и В эквивалентны (А = В), если

A В и ВA.

Это означает, что все элементы А являются элементами В, а все элементы В — элементами А.

Определение. Говорят, что два множества А и В неэквивалентны, если они не эквивалентны. Это свойство равносильно тому, что одно из множеств А\В или В\А не пусто.

Определение. Множество всех подмножества X назовём степенью множества X и будем обозначать через (иногда используют обозначение 2 ^Х.)

Формально:

В частности, заметим, что поскольку и, то

,

Пример.

Пусть A= {1, 2, 3}. Тогда