Математические модели как средство работы с информацией

1. Производственное объединение, в которое входят две мебельные фабрики, нуждается в обновлении парка станков. Причем первой мебельной фабрике нужно заменить три станка, а второй - семь. Заказы можно разместить на двух станкостроительных заводах. Первый завод может изготовить не более 6 станков, а второй завод примет заказ, если их будет не менее трех. Требуется определить, как размещать заказы.

2. Некоторая фирма работает на конкурентном рынке хлебо-булочной продукции и занимается выпечкой пирожков. Функция издержек выпечки пирожков имеет вид , где Q – количество пирожков (в тыс. штук). Известно, что производственные мощности позволяют выпекать не более 2000 пирожков в день. Определите, сколько пирожков в день следует выпекать этой фирме, чтобы получать максимальную прибыль, если рыночная стоимость пирожка составляет 8 руб. за штуку.

3. Допустим, что все затраты фирмы определяются только расходами на оплату труда наемных работников, а все остальные ресурсы на затраты фирмы не влияют. Еженедельный выпуск продукции зависит от количества нанятых работников так: . Недельная ставка рабочего составляет 80$. Производимый товар фирма реализует по цене 10$ за единицу товара. Сколько работников нужно нанять владельцу фирмы, чтобы получить максимальную прибыль? Сколько продукции произведут эти работники за неделю?

4. Николай Кузьмич выращивает огурцы на своем приусадебном участке и весь урожай продает на городском конкурентном рынке. Известно, что рыночная цена огурцов составляет 20 руб. за кг. Зависимость общих затрат на производство огурцов определяется функцией . Сколько килограммов огурцов нужно вырастить Николаю Кузьмичу, чтобы получить от их продажи максимальную прибыль?

5. Расстояние между заводами А и В равно 40км. Потребность завода А составляет 80т нефти в сутки, а завода В – 70т в сутки. Перевозка одной тонны нефти на расстояние 1км для завода А стоит 8руб., а для завода В 10руб. Где нужно строить нефтебазу для обеспечения заводов А и В горючим, чтобы расходы на перевозку были наименьшими?

6. Расстояние между двумя шахтами А и В по шоссейной дороге 60км. На шахте А добывают 200т руды в сутки, а на шахте В – 100т руды в сутки. Где нужно построить завод по переработке руды, чтобы для ее перевозки количество тонно-километров было наименьшим?

7. Затраты на перевозку одного и того же груза разными видами транспорта определяются формулами: у= 1500+3х и у=3000+1,5х, где х – расстояние в километрах, у – стоимость перевозки в рублях. Постройте графики этих функций. На каких расстояниях выгодно пользоваться первым видом транспорта? Начиная с какого расстояния экономичнее становится второй вид транспорта?

8. Какие из линий, приведенных на рисунке, могут являться графиками функций?

9. Выберите уравнения, которые задают функцию у(х):

а) б) ; в) ; г) ; д)

10. Функция задана формулой у=3х-7. Найдите ее значение при х=-1.

11. Функция задана формулой у=х²-2. При каком значении х значение функции равно 5?

12. Функция задана формулой . Найдите:

а) f(2), f(-1), f(0);

б) значения х, при которых ; f(x)=1.

12 *. Найдите область определения функции а) ;

б) ; в) ; г) ; д) ;

е) ; ж) ; з)

13. Найдите нули и промежутки знакопостоянства функции: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж)

14. Какие из функций, графики которых изображены на рисунке, являются четными, а какие нечетными?

15. Функция задана графиком.

Укажите:

1) область определения этой функции;

2) множество значений этой функции;

3) нули функции;

4) промежутки знакопостоянства;

5) промежутки, на которых она возрастает и на которых

она убывает.

16. Некоторая компания продает свою продукцию по цене p =500руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют v=300 руб., постоянные расходы предприятия f=700000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле . Определите наименьший месячный объeм производства q (единиц продукции), при котором

17. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле h=5t², где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,6 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.

18. Зависимость объeма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задаeтся формулой q=100-10p. Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p)=q∙p. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

19. Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t)=1,6+8t-5t², где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трeх метров?

20. Два велосипедиста отправляются навстречу друг другу одновременно из двух пунктов, расстояние между которыми равно 50км, и встречаются через 2 часа. Определите скорость каждого велосипедиста, если скорость у одного из них на 3км/ч больше, чем у другого.

21. Лодка в 5:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 23:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость лодки равна 4 км/ч.

22. Две бригады, работая вместе, выполняют работу за 6 ч. Одной первой бригаде на ту же работу требуется на 5 ч больше, чем второй. За какое время может выполнить всю работу каждая бригада, работая отдельно?

23. В баке находится 30 литров 30% раствора соли. Сколько воды надо добавить, чтобы в растворе было 20% соли?