Функція – функція двох змінних і . Областю визначення функції є деяка множина точок площини (може бути вся площина, або частина площини, обмежена певними лініями). Існують частинні похідні функції першого порядку по : та по : . При знаходженні похідної по певній змінній всі інші змінні вважаємо сталими. Правила диференціювання і таблиця похідних такі ж самі, як для функції однієї змінної. Частинні похідні першого порядку є функціями двох змінних. Їх можна диференціювати. Дістанемо другі частинні похідні: , , . При цьому , тобто .
Повний диференціал функції обчислюється за формулою:
Похідна складеної функції: а) функція залежить від двох змінних та , кожна з яких, в свою чергу, є функцією змінної : , , тоді ;
б) маємо функцію , де , тоді ;
в) маємо функцію , де , , тоді і .
Функція є неявно заданою, якщо рівняння не може бути розв’язане відносно . Тоді частинні похідні цієї функції визначаються формулами:
і .
Нехай задано поверхню . Точка належить цій поверхні і функція диференційована в ній. Рівняння дотичної площини, яка проходить через точку , має вигляд: . Рівняння нормалі, яка проходить через точку , має вигляд: Якщо рівняння поверхні задано в явній формі , то поклавши , можна застосувати наведені вище формули.
|
|
Якщо функція має екстремум в точці , то в цій точці частинні похідні першого порядку по змінних та дорівнюють нулю або не існують. Точка, що задовольняє цим умовам, називається критичною, наприклад, . Вона буде екстремальною, якщо
. Якщо , то точка не экстремальна. У випадку, коли , необхідне додаткове дослідження.
Задача 25. Знайти і побудувати область визначення функції:
Розв’язання: Функція визначена при , або . Функція існує, якщо , тобто у двох випадках:
при і при . Звідки область визначення всієї функції:
і
Побудуємо область визначення функції.
Задача 26. Знайти частинні похідні першого порядку для функції
Розв’язання: При знаходженні похідної по певній змінній всі інші змінні вважаємо сталими.
Задача 27. Довести, що функція задовольняє заданому рівнянню.
Розв’язання:
Підставимо знайдені похідні в рівняння:
Задача 28. Знайти перші частинні похідні неявно заданої функції
Розв’язання: Маємо , де
. Знайдемо похідні
,
,
.
,
.
Задача 29. Знайти перші похідні складної функції.
Розв’язання: Знайдемо похідні:
,
, .
Маємо:
Задача 30. Знайти повний диференціал функції:
Розв’язання: Знайдемо перші частинні похідні: . Тоді
Задача 31. Скласти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні в точці .
Розв’язання: Запишемо рівняння площини в неявному вигляді:
|
|
. Знайдемо частинні похідні в точці М0
; ;
Підставимо в рівняння дотичної площини знайдені значення. Матимемо: або
і відповідно рівняння нормалі:
.
Задача 32. Дослідити на екстремум функцію:
Розв’язання: Область визначення функції – вся числова площина . Обчислимо частинні похідні функції:
. Знайдемо критичні точки. Розв’яжемо систему: .
Розв’язком будуть дві точки і . Обидві точки належать області визначення. Обчислимо частинні похідні другого порядку даної функції: . Знайдемо їх значення в точках і : , , і , , . Покладемо .
В точці : . Отже, екстремуму немає. В точці : . Отже, екстремум є. Так як , то в точці функція має мінімум. Мінімум функції
.
1.2 Індивідуальні завдання
Завдання 1. Розв’язати матричне рівняння.
1. | 2. | ||
3. | 4. | ||
5. | 6. | ||
7. | 8. | ||
9. | 10. | ||
11. | 12. | ||
13. | 14. | ||
15. | 16. | ||
17. | 18. | ||
19. | 20. | ||
21. | 22. | ||
23. | 24. | ||
25. | 26. | ||
27. | 28. | ||
29. | 30. |
Завдання 2. Розв’язати систему ЛАР трьома способами: а) по формулам Крамера; б) матричним методом; в) методом Гаусса.
1. | 2. | ||
3. | 4. | ||
5. | 6. | ||
7. | 8. | ||
9. | 10. | ||
11. | 12. | ||
13. | 14. | ||
15. | 16. | ||
17. | 18. | ||
19. | 20. | ||
21. | 22. | ||
23. | 24. | ||
25. | 26. | ||
27. | 28. | ||
29. | 30. |
Завдання 3. Задані координати вершин піраміди . Знайти: а) Кут між ребрами та ; б) Площу грані ; в) Проекцію вектора на вектор , г) Довжину висоти піраміди, проведену з вершини , д) Яку трійку утворюють вектори , і ?
1. | А1(2; 1; 4) | А2(-1; 5; -2) | А3 (-7; -3; 2) | А4(-6; -3; 6) |
2. | А1(5; 2; 0) | А2(2; 5; 0) | А3(1; 2; 4) | А4(-1; 1; 1) |
3. | А1(1; 2; 0) | А2 (3; 0; -3) | А3(5; 2; 6) | А4(8; 4; -9) |
4. | А1(2; -1; 2) | А2(1; 2; -1) | А3(3; 2; 1) | А4(-4; 2; 5) |
5. | А1(1; 1; 2) | А2(-1; 1; 3) | А3(2; -2; 4) | А4(-1; 0; -2) |
6. | А1(2; 3; 1) | А2(4; 1; -2) | А3(6; 3; 7) | А4(7; 5; 3) |
7. | А1(1; 5; -7) | А2(-3; 6; 3) | А3(-2; 7; 3) | А4(-4; 8; -12) |
8. | А1(0; -1; -1) | А2(-2; 3; 5) | А3(1; -5; -9) | А4(-1; -6; 3) |
9. | А1(7; 2; 4) | А2(7; -1; -2) | А3(3; 3; 1) | А4(-4; 2; 1) |
10. | А1(4; -1; 3) | А2(-2; 1; 0) | А3(0; -5; 1) | А4(3; 2; -6) |
11. | А1(2; 0; 0) | А2(-2; 0; -1) | А3(1; 4; 2) | А4(3; 0; 6) |
12. | А1(-2; 0; 2) | А2(0; 0; 4) | А3(3; 2; 4) | А4(1; 3; 2) |
13. | А1(1; 2; 3) | А2(2; 0; 0) | А3(3; 2; 5) | А4(4; 0; 0) |
14. | А1(3; 0; 6) | А2(1; -3; 2) | А3(3; 2; 5) | А4(2; 2; 5) |
15. | А1(-2; 0; -1) | А2(0; 0; 4) | А3(1; 3; 2) | А4(3; 2; 7) |
16. | А1(1; -2; 1) | А2(0; 0; 4) | А3(1; 4; 2) | А4(2; 0; 0) |
17. | А1(-2; 1; 0) | А2(3; 2; 7) | А3(2; 2; 5) | А4(6; 1; 5) |
18. | А1(-1; 3; 0) | А2(2; 0; 0) | А3(4; -1; 2) | А4(3; 2; 7) |
19. | А1(6; 1; 5) | А2(5; 1; 2) | А3(-4; 1; -2) | А4(-6; 0; 5) |
20. | А1 (1; -1; 6) | А2(-5; -1; 0) | А3(4; 0; 0) | А4(2; 2; 5) |
21. | А1(4; 2; 5) | А2(0; 7; 2) | А3 (0; 2; 7) | А4(1; 5; 0) |
22. | А1(4; 4; 10) | А2(4; 10; 2) | А3(2; 8; 4) | А4(9; 6; 9) |
23. | А1(4; 6; 5) | А2(6; 9; 7) | А3(2; 10; 10) | А4(7; 5; 9) |
24. | А1(3; 5;4) | А2(8; 7; 4) | А3 (5; 10; 4) | А4(4; 7; 8) |
25. | А1(10; 6; 6) | А2(-2; 8; 2) | А3(6; 8; 9) | А4(7; 10; 3) |
26. | А1(1; 8; 2) | А2(5; 2; 6) | А3(5; 7; 4) | А4(4; 10; 9) |
27. | А1(6; 6; 5) | А2(4; 9; 5) | А3(4; 6; 11) | А4(6; 9; 3) |
28. | А1(7; 2; 2) | А2(5; 7; 7) | А3(5; 3; 1) | А4(2; 3; 7) |
29. | А1(8; 6; 4) | А2(10; 5; 5) | А3(5; 6; 8) | А4(8; 10; 7) |
30. | А1(7; 7; 3) | А2(6; 5; 8) | А3(3; 5; 8) | А4(8; 4; 1) |
Завдання 4. Дані вершини трикутника . Знайти а) довжину та рівняння сторони ; б) довжину та рівняння висоти, проведеної до сторони , в) рівняння середньої лінії, яка з’єднує сторони та , г) кут при вершині . Зробити рисунок трикутника.
1. | А (2, - 3) | В (3, 0) | С (- 2, 5) |
2. | А (1, 3) | В (- 1, 0) | С (2, - 2) |
3. | А (1, 2) | В (- 1, - 1) | С (2, 1) |
4.. | А (2, 1) | В (4, 3) | С (- 2, 1) |
5. | А (1, - 1) | В (6, 4) | С (2, 6) |
6. | А (2, - 3) | В (3, 2) | С (- 2, 5) |
7. | А (3, 2) | В (5, - 2) | С (1, 3) |
8. | А (3, - 4) | В (- 2, 3) | С (4, 5) |
9. | А (3, 6) | В (- 1, 3) | С (2, - 1) |
10. | А (5, - 4) | В (- 1, 3) | С (- 3, - 2) |
11. | А (1, 1) | В (7, 4) | С (4, 5) |
12. | А (1, 1) | В (- 5, 4) | С (- 2, 5) |
13. | А (- 1, 1) | В (5, 4) | С (2, 5) |
14. | А (- 1, 1) | В (- 7, 4) | С (- 4, 5) |
15. | А (1, - 1) | В (7, 2) | С (4, 5) |
16. | А (1, - 1) | В (-5, 2) | С (- 2, 3) |
17. | А (-1, -1) | В (5, 2) | С (2, 3) |
18. | А (- 1, - 1) | В (- 7, 2) | С (- 4, 3) |
19. | А (0, 1) | В (6, 4) | С (3, 5) |
20. | А (1, 0) | В (7, 3) | С (4, 4) |
21. | А (2, - 3) | В (- 3, 0) | С (2, 5) |
22. | А (1, 3) | В (2, 0) | С (- 2, - 2) |
А (1, 2) | В (2, - 1) | С (- 3, 1) | |
24. | А (2, 1) | В (- 4, 3) | С (1, 1) |
25. | А (1, - 1) | В (- 3, 4) | С (- 2, 6) |
26. | А (2, - 3) | В (- 3, 2) | С (2, 5) |
27. | А (3, 2) | В (- 3, - 2) | С (- 2, 3) |
28. | А (3, - 4) | В (4, 3) | С (- 1, 5) |
29. | А (3, 6) | В (2, 3) | С (- 3, 1) |
30. | А (5, - 4) | В (4, 3) | С (2, - 2) |
Завдання 5. Дано точки: , , , . Знайти: а) рівняння прямої, яка проходить через т. паралельно прямій ; б) рівняння площини ; в) рівняння прямої, яка проходить через т. перпендикулярно площині .
|
|
1. | А(0; -1; 2) | B(2;-2; 2) | С(-1;-1; 3) | D(2;-1; 3) |
2. | А(2; -1; 3) | В(1; -4; 4) | С(4; -2; 3) | D(-1;2; 3) |
3. | А(-1; 2; 3) | В(-2; 2; 4) | С(1; 1; 3) | D(-1;3; 2) |
4. | А(-1;3; 2) | В (-2; 3; 3) | С(1; 2; 2) | D(2; 3;-1) |
5. | А(2; 3;-1) | В(1; 3;0) | С(4; 2; -1) | D(0; 4; -1) |
6. | А(0; 2;-1) | В(-1; 2;0) | С(2;1; -1) | D(-2; 0;1) |
7. | А(-2; 0; 1) | В(-3;0;2) | С(0;-1; 1) | D(1;0;-2) |
8. | А(1; 0; -2) | В(0; 0; -1) | С(3;-1; -2) | D(0; 1; -2) |
9. | А(0; 1; -2) | В(-1; 1; -1) | С(2; 0;-2) | D(-2; 1; 0) |
10. | А(-2;1;0) | В(-3; 1; 1) | С(0; 0; 0) | D(-2; -1; 0) |
11. | А(-2; -1;0) | В(-3; -1; 1) | С(0; -2; 0) | D(0; -2; -1) |
12. | А(0; -2; -1) | В(-1; -2; 0) | С(2; -3; -1) | D(-1; 0; -2) |
13. | А(-1; 0;-2) | В(-2; 0; -1) | С(1; -1; -2) | D(0; -1; -2) |
14. | А(0; -1;-2) | В(-1; -1; 1) | С(2; -2; -2) | D(-2; 0; -1) |
15. | А(-2; 0; -1) | В(-3; 0; 0) | С(0; -1; -1) | D(-1; -2; 0) |
16. | А(0; -1; 2) | В(-1; -1; 3) | С(2; -2; 2) | D(2;-1; 3) |
17. | А(2; -1; 3) | В(4; -2; 3) | С(1; -1; 4) | D(-1; 2; 3) |
18. | А(-1; 2; 3) | В (1; 1; 3) | С(-2; 2; 4) | D(-1; 3; 2) |
19. | А(-1; 3; 2) | В(1; 2; 2) | С(-2; 3; 3) | D(2; 3; -1) |
20. | А(2; 3; - 1) | В(4; 2; -1) | С(1; 3; 0) | D(0;2; -1) |
21. | А(0; 2; -1) | В(2; 1; -1) | С(-1; 2; 0) | D(-2; 0; 1) |
22. | А(-2; 0; 1) | В(0; -1; 1) | С(-3; 0; 2) | D(1; 0; -2) |
23. | А(1; 0; -2) | В(3; -1; -2) | С(0; 0; -1) | D(0; 1; -2) |
24. | А(0; 1;-2) | В(2; 0; -2) | С(-1; 1; -1) | D(-2; -1; 0) |
25. | А(-2; 1; 0) | В(0; 0; 0) | С(-3; 1; 1) | D(-2; -1; 0) |
26. | А(-2; -1; 0) | В(0; -2; 0) | С(-3; -1; 1) | D(0; -2; -1) |
27. | А(0; -2; -1) | В(2; -3; -1) | С(-1; -2; 0) | D(-1; 0; -2) |
28. | А(-1; 0; -2) | В(1; -1; -2) | С(-2; 0; -1) | D(0; -1; -2) |
29. | А(0; -1; -2) | В(2; -2; -2) | С(-1; -1; -1) | D(-2; 0; -1) |
30. | А(-2; 0; -1) | В(0; -1; -1) | С(-3; 0; 0) | D(-1; -2; 0) |
Завдання 6. Знайти границі функції
1. | а) | ||
б) | в) | ||
г) | |||
2. | а) | ||
б) | в) | ||
г) | |||
3. | а) | ||
б) | в) | ||
г) | |||
4. | а) | ||
б) | в) | ||
г) | |||
5. | а) | ||
б) | в) | ||
г) | |||
6. | а) | ||
б) | в) | ||
г) | |||
7. | а) | ||
б) | в) | ||
г) | |||
8. | а) | ||
б) | в) | ||
г) | |||
9. | а) | ||
б) | в) | ||
г) | |||
10. | а) | ||
б) | в) | ||
г) | |||
11. | а) | ||
б) | в) | ||
г) | |||
12. | а) | ||
б) | в) | ||
г) | |||
13. | а) | ||
б) | в) | ||
г) | |||
14. | а) | ||
б) | в) | ||
г) | |||
15. | а) | ||
б) | в) | ||
г) | |||
16. | а) | ||
б) | в) | ||
г) | |||
17. | а) | ||
б) | в) | ||
г) | |||
18. | а) | ||
б) | в) | ||
г) | |||
19. | а) | ||
б) | в) | ||
г) | |||
20. | а) | ||
б) | в) | ||
г) | |||
21. | а) | ||
б) | в) | ||
г) | |||
22. | а) | ||
б) | в) | ||
г) | |||
23. | а) | ||
б) | в) | ||
г) | |||
24. | а) | ||
б) | в) | ||
г) | |||
25. | а) | ||
б) | в) | ||
г) | |||
26. | а) | ||
б) | в) | ||
г) | |||
27. | а) | ||
б) | в) | ||
г) | |||
28. | а) | ||
б) | в) | ||
г) | |||
29. | а) | ||
б) | в) | ||
г) | |||
30. | а) | ||
б) | в) | ||
г) |
Завдання 7. Дослідити на неперервність функцію, встановити характер точок розриву, якщо вони існують. Зробити схематичне креслення:
|
|
1. | 2. | ||
3. | 4. | ||
5. | 6. | ||
7. |
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
Сейчас читают про:
|