Задания по геометрии

№1. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение. Площадь треугольника равна разности площади прямоугольника и трех прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного треугольника. Поэтому

см². Ответ: 28.

№2.

Площадь треугольника ABC равна 136. DE — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.

Решение. Средняя линия треугольника отсекает от него подобный треугольник с коэффициентом 0,5. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому площадь отсеченного треугольника вчетверо меньше площади исходного. Таким образом, площадь треугольника CDE равна 34.

Ответ: 34.

№3. Площадь треугольника равна 217, а его периметр 62. Найдите радиус вписанной окружности.

Решение. Площадь треугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности, поэтому Ответ: 7.

№4. В треугольнике угол равен , а углы и – острые. и – высоты, пересекающиеся в точке . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение. Cумма углов в выпуклом четырехугольнике равна 360 градусам, следовательно,

. Ответ: 108.

№5.
Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность? Решение.

Пусть радиус окружности равен R. Тогда сторона описанного вокруг нее квадрата равна 2 R, а его площадь, равная квадрату стороны, равна 4 R ². Диагональ вписанного квадрата также равна 2 R, поэтому его площадь, равная половине произведения диагоналей, равна 2 R ². Следовательно, отношение площади описанного квадрата к площади вписанного равно 2. Ответ: 2.

№6. Две стороны прямоугольника равны 6 и 8. Найдите длину вектора .

Решение. Вектор образует в прямоугольнике два прямоугольных треугольника. Поэтому по теореме Пифагора . Ответ: 10.

№7.
Две стороны прямоугольника равны 6 и 8. Найдите длину суммы векторов и .

Решение. Сумма векторов и равна вектору . Вектор образует в прямоугольнике два прямоугольных треугольника. Поэтому по теореме Пифагора . Ответ: 10.

№8.
Две стороны изображенного на рисунке прямоугольника равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке . Найдите длину суммы векторов и . Решение. Сумма векторов и равна вектору . Его длина равна 6. Ответ: 6.

№9.
Середины сторон прямоугольника, диагональ которого равна 5, последовательно соединены отрезками. Найдите периметр образовавшегося четырехугольника.

Решение. Четырехугольник ромб, значит, его периметр равен . Стороны искомого четырехугольника равны средним линиям треугольников, образуемых диагоналями и сторонами данного четырехугольника. Таким образом, стороны искомого четырехугольника равны половинам диагоналей. Соответственно, имеем: . Ответ: 10.

№10.

Найдите площадь параллелограмма, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведенную к этому основанию или его продолжению. Поэтому см². Ответ: 18.

№11.

Найдите площадь параллелограмма, если две его стороны равны 47 и 2, а угол между ними равен 30°.

Решение. Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними. Поэтому см². Ответ: 47.

№12.
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма.

Решение. так как прямые, проведенные из основания треугольника параллельны его сторонам, то углы в треугольниках и равны углам треугольника . Треугольники подобны, соответственно, они равнобедренные. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны, значит

. Ответ: 20.

№13. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.

Площадь четырёхугольника равна разности площади трапеции, маленького прямоугольника и двух прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного четырёхугольника. Поэтому

см².

Примечание.

Данный четырёхугольник можно разбить на прямоугольный треугольник, с катетами 1 и 3, прямоугольную трапецию с основаниями 3 и 1 и прямоугольный треугольник с катетами 1 и 1. Поэтому его площадь равна 4.

№14. Площадь параллелограмма равна 153. Найдите площадь параллелограмма , вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.

Решение.

Четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного четырехугольника, является параллелограммом, площадь которого равна половине площади исходного четырехугольника (см. параллелограмм Вариньона). Поэтому его площадь равна 76,5. Ответ:76,5.

№15. Площадь параллелограмма равна 176. Точка – середина стороны . Найдите площадь треугольника .

Решение.

Пусть − перпендикуляр, опущенный из точки на продолжение стороны Выразим площадь треугольника через площадь параллелограмма

Ответ: 44.

№16. Площадь треугольника ABC равна 12. DE ― средняя линия этого треугольника, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABDE.

Решение.

Средняя линия отсекает треугольник, подобный исходному с коэффициентом 0,5. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому площадь отсеченного треугольника вчетверо меньше: она равна 3. Тогда искомая площадь трапеции равна 12 − 3 = 9. Ответ: 9.

№17. Найдите площадь ромба, если его стороны равны 1, а один из углов равен 150°.

Решение.

Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны и синуса его угла. Поэтому

см². Ответ: 0,5.

№18. Задание 4 № 27594. Средняя линия и высота трапеции равны соответственно 3 и 2. Найдите площадь трапеции.

Решение.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Поэтому см² Ответ: 6.

№19. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена фигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

Решение.

Площадь фигуры равна разности площади прямоугольника и трех треугольников. Поэтому

см². Ответ: 6.

№20. Периметры двух подобных многоугольников относятся как 3:5. Площадь меньшего многоугольника равна 18. Найдите площадь большего многоугольника.

Решение.

Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату отношения их периметров. Пусть периметр и площадь меньшего многоугольника соответственно равны P ₁ и S ₁, периметр и площадь большего многоугольника соответственно равны P ₂ и S ₂. Поэтому

,откуда , Поэтому S ₂ = 50. Ответ: 50.

№21. Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, площадь которого равна 33. Найдите его периметр. Решение. Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его площади к полупериметру. Пусть площадь равна S, периметр равен P, радиус окружности равен R. Тогда . Поэтому P = 22. Ответ: 22.

№22. Найдите тангенс угла .

Решение.

проведем высоту из точки на продолжение стороны . Тогда:

. Ответ: -2.

№23. Найдите тангенс угла .

Решение.

Достроим угол до треугольника , . делит основание пополам, значит, – высота. Из рисунка находим .

Примечание.

Можно заметить и доказать, что равнобедренный треугольник ABO является прямоугольным. Тогда углы AOB и OАB равны 45°, а их тангенсы равны 1. Ответ: 1.

№24.
Найдите биссектрису треугольника , проведенную из вершины , если стороны квадратных клеток равны 1. Решение.

по рисунку видно, что , значит, биссектриса, проведенная из вершины , также будет делить основание пополам. Построим отрезок . Видно, что он равен 4. Ответ: 4.

№25. Найдите площадь сектора круга радиуса , центральный угол которого равен 90°.

Решение. Площадь сектора круга, центральный угол которого равен n° равна четверти площади круга. Поэтому

. Ответ: 0,25.

№26. Высота правильного треугольника равна 3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение. Треугольник правильный, значит, все углы равны по . По теореме синусов имеем:

Ответ: 2.

Приведём другое решение. В правильном треугольнике радиус описанной окружности равен двум третьим высоты. Поэтому он равен 2.

№27. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

Решение.

значит, треугольник – равносторонний.

Ответ: 6.

№28. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 6. Решение. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен одной трети высоты. Поэтому он равен 2. Ответ: 2.

№29. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.

Решение. трапеция – равнобедренная, т. к. вокруг неё описана окружность.

Ответ: 6.

№30. На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Решение.

Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Поскольку радиус большего круга равен четырем третьим радиуса меньшего круга, площадь большего круга составляет шестнадцать девятых площади меньшего. Следовательно, она равна 16. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов: 16 − 9 = 7. Ответ: 7.

№ 31. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 3 и 5. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение.

в выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда

Ответ: 4.

№32. Найдите длину вектора (6; 8).

Решение. Длина вектора определяется следующим выражением: . Ответ: 10.

№33. Стороны правильного треугольника равны 3. Найдите длину вектора .

Решение. Разность равна вектору . Длина вектора . Ответ: 3.

№34. Вектор с началом в точке (2; 4) имеет координаты (6; 2). Найдите ординату точки .

Решение. Координаты вектора равны разности координат конца вектора и его начала. Так как вектор имеет координаты , то легко вычислить координаты точки . Следовательно, точка имеет координаты , . Поэтому Ответ: 6.