Задачі по даній темі

1) Бісектриса кута прямокутника ділить сторону на відрізки 6 і 2 см, починаючи від найближчого до вершини його кута вершини прямокутника. Знайти відстань від площини прямокутника до точки віддаленої він від кожної з вершин на 13см.

2) Периметр прямокутника рівний 28см, а його площа 48см. Точка знаходиться на відстані 12см від площини прямокутника і рівновіддалена від усіх його вершин. Знайти відстань від цієї точки до вершин прямокутника.

3) Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 128см, а медіана, проведена до основи дорівнює 32см. Відстань від точки, що знаходиться в просторі до вершин трикутника дорівнює по 65см. Знайти відстань від цієї точки до площини цього трикутника.

4) Площа рівнобедреного трикутника дорівнює 768см, а його основа 48см. Точка в просторі знаходиться на відстані 60см від площини трикутника і рівновіддалена від усіх її вершин. Знайти відстань від цієї точки до вершин трикутника.

5) Середня лінія рівностороннього трикутника дорівнює 2 см. Відстань від точки простору до вершин трикутника дорівнює по 5см. Знайти відстань від цієї точки до площини трикутника.

6) Периметр правильного трикутника дорівнює 9 см. Точка знаходиться на відстані 4см від площини трикутника і однаково рівновіддалена від його вершин. Знайти відстань від цієї точки до вершин трикутника.

7) У прямокутному трикутнику перпендикуляр, проведений з вершини прямого кута, рівний 24см і ділить гіпотенузу у відношенні 9:16. Відстань від точки простору до вершин трикутника дорівнюють по 65см. Знайти відстань від цієї точки до площини трикутника.

8) У прямокутному трикутнику перпендикуляр, проведений з вершини прямого кута рівний 24см і ділять гіпотенузу на відрізки, різниця яких рівна 14см. Точка, що лежить в просторі, знаходиться на відстані 60см від площини трикутника і на рівних відстанях від його вершин. Знайти відстань від цієї точки до вершин трикутника.

9) Кінці відрізка, які не перетинають площину, віддалені від неї на 21 і 9см. Знайти відстань від середини відрізку до цієї площини.

10) Кінці відрізка, який перетинають площину, віддалені від неї на 23 і 13см. Знайти відстань від середини відрізку до цієї площини.

11) З точки, яка знаходяться на відстані 4см від площини, проведені дві похилі завдовжки 5 і 4 см. Кут між проекціями цих похилих складає 60. Знайти відстань між основами похилих.

12) З точки, яка знаходиться на відстані 12см від площини проведені дві похилі завдовжки 13 і 20см. Відстань між основами похилих складає 19см. Знайти кут між проекціями цих похилих.

13) З точки до площини проведені дві похилі завдовжки 25 і 30см. Різниця між проекціями цих похилих рівна 11см. Знайти відстань від точки до площини.

14) З точки до площини проведені дві похилі, різниця між якими рівна 5см. Проекції цих похилих дорівнюють 18 і 7см. Знайти відстань від цієї точки до площини.

15) Кінці відрізка, які не перетинають площину, віддалені від неї на 12 і 4см. Знайти відстань від точки відрізка, яка ділить його у відношенні 5: 3, рахуючи від першого кінця до цієї площини.

16) Кінці відрізку довжина якого 30см, віддалені від площини яку він перетинає, на 2 и15 см. Знайти довжину проекції відрізку на цю площину.

17) З точки до площини трикутника, сторони якого дорівнюють 13, 14 і 15см, проведений перпендикуляр завдовжки 16см. Основою цього перпендикуляра являється вершина кута, який лежить навпроти сторони завдовжки 14см. Знайти відстань від ї точки до цієї сторони.

18) З точки до площини трикутника, сторони якого дорівнюють 29,25 і 6см, проведений перпендикуляр з основою у вершині кута, протилежного до найменшої сторони трикутника. Відстань від цієї точки до прямої, яка знаходиться на цій стороні, рівна 25см. Знайти відстань від точки до площини трикутника.

19) З точки до площини ромба із стороною 5см і меншою діагоналлю 6см, проведений перпендикуляр з основою у вершині гострого кута ромба. Відстань від цієї точки до протилежної вершини ромба дорівнює 17см. Знайти відстань від точки до площини ромба.

20) З точки до площини ромба із стороною 13см і більшою діагоналлю 24см проведений перпендикуляр завдовжки 24см. Основа перпендикуляра співпадає з вершиною тупого кута ромба. Знайти відстань від цієї точки до протилежної вершини ромба.

21) З точки до площини рівнобедреної трапеції, менша основа якої дорівнює 5см, висота 4см, а діагональ є бісектрисою гострого кута, проведений перпендикуляр завдовжки 8см. Основа перпендикуляра – вершина тупого кута трапеції. Знайти відстань від цієї точки до вершини протилежного гострого кута трапеції.

22) З точки до площини рівнобедреної трапеції, більша основа яке дорівнює 13см, высота12см, а діагональ є бісектрисою тупого утла, проведений перпендикуляр завдовжки см. Основа перпендикуляра – вершини гострого утла трапеції. Знайти відстань від даної точки до вершини протилежного тупого кута.

23) З точки до площини прямокутної трапеції, менша основа якої рівна 5см, висота 4см. А діагональ є бісектрисою гострого утла, проведений перпендикуляр, довжина якого 8см. Основа перпендикуляра – вершина гострого кута трапеції. Знайти відстань від цієї точки до вершини протилежного прямого кута трапеції.

24) З точки до площини прямокутний трапеції, більша основа якої дорівнює 13см, висота 12см, а діагональ є бісектрисою тупого утла, проведений перпендикуляр довжиною см Основа перпендикуляра – вершина тупого кута трапеції. Знайти відстань від цієї точки до вершини пряного кута трапеції.

25) Діагональ ромба дорівнюють 30 і 40см. Точка віддалена від кожної сторони ромба на 20см. Знайти відстань від цієї точки до площини ромба.

26) Сторона ромба дорівнює 25см, а одна з діагоналей – 30см. Точка знаходиться на відстані 16см від площини ромба і рівно віддалена від його сторін. Знайти відстань від точки до сторін ромба.

27) Основи рівносторонньої трапеції відповідно рівні 8 і 18см. Деяка точка віддалена від кожної сторони трапеції на 10см. Знайти відстань від цієї точки до площини трапеції.

28) Основи прямокутної трапеції дорівнює 10 і 15см. Відстань від деякої точки рівновіддаленої від сторін трапеції, до її площини рівне 8см. Знайти відстань від цієї точки до сторін трапеції.

29) Площа рівнобедреного трикутника 1200см, а його основа 60см. Точка в просторі віддалена від кожної сторони трикутника на 39см. Знайти відстань від цієї точки до площини трикутника.

30) Площа рівнобедреного трикутника дорівнює 1200см, а його висота проведена до основи 40см. Відстань від точки в просторі, рівно віддалено від сторін трикутника, до його площини дорівнює 36см. Знайти відстань точки до сторін трикутника.

31) Два відрізка, сума яких рівна 64см впираються своїми кінцями в дві паралельні площини. Їх проекції на одну з цих площин рівні 20 і 28см. Знайти довжину відрізків і відстані між площинами.

32) Два відрізки впираються своїми кінцями в дві паралельні площини і рівні 55 і 65см, а сума їх проекцій на одну з площин рівна 100см. Знайти ці проекції і відстань між площинами.

33) Кінці відрізку, довжина якого 24см, належать двом перпендикулярним площинам. Відстань від кінців відрізку до лінії перетину цих площин відповідно дорівнюють 12 і 12 см. Знайти кути утворені відрізком з цими площинами.

34) З кінців відрізка, які належать двом перпендикулярним площинам, до лінії перетину площин проведені перпендикуляри, які рівні 4 і 4см. Відстань між основами перпендикулярів дорівнює 4см. Знайти кут, утворений відрізком цими площинами.

35) З кінців відрізка, що належать двом перпендикулярним площинам, до лінії перетину площин проведені перпендикуляри, відстань між основами яких 3см. Проекція відрізка на цій площині дорівнює 3 і З см. Знайти кут утворений відрізком з даними площинами.

36) Кінці відрізка завдовжки 6см належать двом перпендикулярним площинам. Проекція відрізка на одну з площин рівна З см, а відстань від його кінця до іншої площини дорівнює З см. Обчислити кути, утворені відрізком з цими площинами.

37) Кінці відрізка лежать на двох взаємно перпендикулярних площинах. Проекція відрізка на першу з цих площин різна З см, а відстань від його кінців до першої і другої площини відповідно дорівнює 3 і З см. Знайти кути, створені відрізком з цими площинами.

38) Кінці відрізка лежать на двох перпендикулярних площинах. Проекція відрізка на першу і другу площині відповідно дорівнює 3 і З см. Кінець відрізка, який належить другій площині, віддалений від лінії перетину площин на 3см. Знайти кути між відрізком і цими площинам.

39) Три послідовні вершини паралелограма віддалені від площини, яка не перетинає його, відповідно на 21,24 і 39см. Знайти відстань від четвертої вершини паралелограма до цієї площини.

40) Дві суміжні вершини паралелограма віддаленні від площини, яка не перетинає його на 23 і 29см. Точка перетину діагоналей паралелограма віддалена від площини на 25см. Знайти відстань від інших вершин паралелограма до цієї площини.

41) Вершини трикутника віддалені від площини, які не перетинають її, на відстані 25, 29 і 42см. Знайти відстань від точки перетину медіан трикутника до площини.

42) Дві вершини трикутника віддалені від площини, які не перетинають її, на 21 і 37см, а точка перетину медіан на 33см. Знайти відстань від третьої вершини трикутника до цієї площини.

43) На одній грані гострого двогранного кута взято дві точки, які віддалені від ребра кута на 54 і 36см. Перша з цих точок віддалена від іншої грані на 24см. Знайти відстань від іншої точки до цієї ж грані.

44) На одній грані гострого двогранного утла узята дві точки, які віддалені від іншої грані на 32 і 24см. Відстань від першої з цих точок до ребра кута дорівнює 48см. Знайти відстань від другої точки до цього ж ребра.

45) Двогранний кут дорівнює 60. Точка однієї грані віддалена від іншої грані на см. Знайти відстань від цієї точки до ребра кута.

46) Двогранний кут дорівнює 45. Точка однієї грані кута віддалена від його ребра на см. Знайти відстань від цієї точки до іншої грані.

47) Два рівнобедрені трикутники мають спільну основу, яка дорівнює 12см. Основа перпендикуляра проведеного з вершини першого трикутника, є вершина прямого кута іншого трикутника. Бічна сторона першого трикутника дорівнює см. Знайти кут між площинами цих трикутників.

48) Два рівнобедрені трикутники мають спільну основу, а їх площини утворюють кут 30. Основою перпендикуляра, проведеного з вершин першого трикутника до площини другого, є вершина прямого кута другого трикутника. Бічна сторона першого трикутника дорівнює см. Знайти основу цих трикутників.

49) Площі двох рівнобедрених трикутників відповідно рівні 15 і 40см², а їх спільна основа має довжину 10см. Кут між площинами трикутників 60⁰. Знайти відстань між вершинами цих трикутників.

50) Площі двох рівнобедрених трикутників рівні 48 і 90см, а їх спільна основа має довжину 12см. Відстань між вершинами трикутника -13см. Обчислити кут між площинами цих трикутників.

51) Квадрат і прямокутник, площі яких відповідно рівні 64 і 120см, мають спільну сторону. Кут між площинами цих фігур дорівнює 60. Знайти відстань між сторонами квадрата і прямокутника, протилежними до їх спільної сторони.

52) Квадрат і прямокутник, площі яких відповідно рівні 64 і 24см, мають спільну сторону. Відстань між їх сторонами, протилежними до спільної сторони, дорівнює 7см. Знайти кут між площинами квадрата і прямокутника.

53) Ортогональною проекцією квадрата на площину, яка містить одну з його вершин, є ромб. Сторона квадрата – 12см, одна з діагоналей ромба см. Знайти кут між площами ромба і квадрата.

54) Ортогональною проекцією квадрата на площину, яка має одну з його вершин, є ромб з діагоналями і см. Знайти кут між площинами ромба і квадрата.

55) Ортогональною проекції трапеції, площа якої дорівнює 80 см², є рівнобічна трапеція з основою 7 і 13см і бічною стороною 5см. Знайти кут між площинами трапеції і її проекції.

56) Ортогональною проекцією трапеції є рівнобедрена трапеція з основами 7 і 25см і діагоналями, перпендикулярними до бічних сторін. Кут між площинами цих трапецій дорівнює 60⁰. Знайти площу трапеції, яка проектується.

57) Ортогональною проекцією ромба на площину, яка містить одну з його вершин, є квадрат. Знайти кут між площинами ромба і квадрата, якщо діагоналі ромба дорівнюють 9 і 18см.

58) Ортогональною проекцією ромба на площину яка містить одну з його вершин, є квадрат. Знайти кут між площинами ромба і квадрата, якщо сторона і діагональ ромба відповідно рівні і 8см.

59) Ортогональна проекція трапеції із сторонами 5, 5, 5 і 11см є трапеція з площею см. Знайти кут між площинами обох трапецій.

60) Ортогональній проекції трапеції являється прямокутна трапеція, основи якої рівні 6 і 9см, а бічна сторона похилої – 5см. Кут між плоскими обох трапецій складає 60⁰. Знайти площу трапеції, яка проектується.