Планиметрия
Произвольный треугольник
1. Теорема косинусов: 
2. Теорема синусов: 
3. Площадь определяется по формуле: 
|
 
|
Три медианы пересекаются в одной точке (её называют центром тяжести или центроидом треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2: 1, считая от вершины. Длину медианы можно определить по формуле: 
|   
 
|
Три высоты треугольника пересекаются в одной точке (её называют ортоцентром треугольника)
Для любого треугольника справедливо соотношение:
|
|
Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (центр вписанной в треугольник окружности)
Длину биссектрисы можно определить по формуле:
|
Свойство биссектрисы:
  
|
Около всякого треугольника можно описать окружность. Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а её радиус определяется по формулам: 
| 
 
|
Во всякий треугольник можно вписать окружность. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис, а её радиус вычисляется по формуле:
 , 
|
     
|
Для правильного треугольника со стороной 
Площадь:  , высота: 
Радиус вписанной окружности:  ,
Радиус описанной окружности:  ,
|
     
|
Для прямоугольного треугольника с катетами  и гипотенузой  справедливы соотношения:
  (теорема Пифагора), 
 
 
 
  
|
 5) Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а её радиус вычисляется по формуле: 
 
 
| 6) радиус вписанной окружности вычисляется по формуле: 
 
    
|
Для равнобедренного прямоугольного треугольника:
|    
|
Произвольный четырёхугольник
1) Если окружность вписана в четырёхугольник со сторонами  , то суммы длин противоположных сторон равны: 
|  
  
|
2) Если окружность описана около четырёхугольника, то суммы его противоположных углов равны  :
   3) Площадь любого четырёхугольника вычисляется по формулам:
   , где  -
длины диагоналей,  - угол между диагоналями.
  , где  - полупериметр,  - радиус
вписанной окружности
|
    
|
Параллелограмм
1) Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон: 
2) площадь вычисляется по формулам:
|        
|
Ромб
1) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его
углов.
2) Площадь вычисляется по формулам:
|           
|
Квадрат
       1) 
2) 
|
 Прямоугольник
      1) 
2) Около любого прямоугольника
можно описать окружность, 
|
|
Трапеция
, где 
- средняя линия. В равнобедренной трапеции
Средняя линия 
проекция диагонали на нижнее
основание, равна средней линии,
MN = AH
Правильный шестиугольник
   
 
1)  ,
2) 
|
Окружность
-
    Свойства касательных к окружности.   а) Радиус, проведённый в точку касания,
      перпендикулярен касательной;
б) Две касательные к окружности,
проведённые из одной точки, равны,
   а центр окружности лежит на биссектрисе
угла между ними.
  2. Измерение углов, связанных с окружностью.
а) Центральный угол измеряется дугой,
на которую он опирается;
б) Вписанный угол измеряется половиной дуги,
  на которую он опирается;
  
в) Угол между касательной и хордой равен половине
дуги, заключённой между касательной и хордой.
  3. Метрические соотношения в окружности.
а) Если две хорды пересекаются, то произведение
 отрезков одной хорды равно произведению отрезков
другой хорды: АМ  ВМ = СМ DМ
|
 б) Если из точки М к окружности проведены
две секущие, то АМ ВМ = СМ DМ
 
 в) Если из точки М к окружности проведены
секущая и касательная, то АМ ВМ = СМ 2
|
   4. Площадь круга:  ,
  Длина окружности: 
 Площадь сектора: а) 
б) 
Длина дуги сектора: а) 
б) 
|
Некоторые свойства площадей:
а)Отношение площадей подобных фигур равно квадрату
   коэффициента подобия: 
б) Отношение площадей двух треугольников с одинаковыми
высотами равно отношению их оснований.
 
 в) Биссектриса треугольника делит его площадь на
части, пропорциональные сторонам, между которыми
она проведена. 
|
| Геометрические тела
| Площади поверхностей
| Обозначения
|
| Произвольная призма
| 
|  - периметр перпендикулярного сечения,
 - длина бокового ребра
|
| Прямая призма
| 
|  - периметр основания,
 - длина бокового ребра
|
| Правильная пирамида
| 
| - периметр основания,
 - апофема (высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды к стороне основания)
|
| Правильная усечённая пирамида
| 
|  - периметры нижнего и верхнего оснований,
- апофема
(высота боковой грани)
|
| Цилиндр
| 
|  - радиус основания и высота цилиндра
|
| Конус
| 
|  - радиус основания и образующая конуса.
|
| Усечённый конус
| 
|  - радиусы
оснований,  -длина образующей конуса
|
| Шар
| 
|  - радиус шара.
|
| Сегмент
| 
|  - радиус основания сегмента
 - радиус шара
 - высота сегмента
|
| Геометричес
кие тела
| Объёмы
| Обозначения
|
| Произвольная призма
| 
|  - площадь основания и высота призмы
 - площадь перпендикулярного сечения и длина бокового ребра призмы
|
| Прямая призма
| 
|  - площадь основания и высота призмы
|
| Пирамида
| 
| - площадь основания и высота пирамиды
|
| Усечённая пирамида
| 
|  - площади верхнего и нижнего-оснований,
 -высота пирамиды.
|
| Цилиндр
| 
|  - радиус основания и высота цилиндра
|
| Конус
| 
|  -радиус основания и высота конуса.
|
| Усечённый конус
| 
|  -радиусы оснований,
 - высота конуса
|
| Шар
| 
|  -радиус шара.
|
| Сегмент
| 
|  -радиус шара
- высота сегмента
|
| Шаровой сектор
| 
|  - радиус шара
- высота сегмента
|
1. Если все боковые рёбра пирамиды образуют с основанием или с высотой
пирамиды равные углы (или все боковые рёбра равны), то высота
пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания.
2. Если все боковые грани пирамиды образуют с высотой пирамиды равные
углы 
или образуют с основанием равные углы 
(или высоты всех
боковых граней равны), то высота пирамиды проходит через центр
окружности, вписанной в основание, и 
.
2015-04-12
495
