Комментарии к заданиям и критерии их оценивания
8 вариант
Часть 1
Каждое верно выполненное задание части 1 оценивается в 1 балл.
Модуль «Алгебра» | Модуль «Геометрия» | |||||||||||
-2 | 96,5 | 3,5 | 0,8 |
Модуль «Реальная математика» | ||||||
0,5 | 0,35 |
Часть 2
Модуль «Алгебра»
21. Решите систему уравнений .
Решение. Домножив первое уравнение системы на 4, второе на 6, получаем , домножив второе уравнение системы на (-2) и сложив с первым находим Ответ: (-2; 3)
Баллы | Критерии оценки выполнения задания |
Задание решено верно | |
Допущена вычислительная ошибка или описка, возможно, приведшая к неверному ответу | |
Случаи, не соответствующие указанным критериям |
22. На соревнованиях по кольцевой трассе один лыжник проходил круг на 3 мин быстрее другого и через час обогнал его ровно на круг. За сколько минут каждый лыжник проходил круг.
|
|
Решение. Пусть х мин – время прохождения круга одним лыжником, х>0(*). х+3 мин – время прохождения круга другим лыжником. - часть круга одним лыжником за 60 минут, - часть круга другим лыжником за 60 минут. Известно, что через час один отстал от другого на круг, имеем . Решив это уравнение при условии (*), получаем х=12, тогда время другого 15 мин. Ответ: 12 мин и 15 мин
Баллы | Критерии оценки выполнения задания |
Задание решено верно | |
При верных рассуждениях допущена вычислительная ошибка или описка, возможно, приведшая к неверному ответу | |
Случаи, не соответствующие указанным критериям (не найдено время другого лыжника и т.д.) |
23. Постройте график функции Найдите все значения а, при которых график данной функции не имеет с прямой общих точек.
Решение. В силу тождества , при всех значениях переменной, отличных от числа (-2), . Тем самым, график функции представляет собой гиперболу с выколотой точкой
Из графика видно, что прямая не имеет с графиком функции общих точек при и . Ответ: см. рис.; и .
Баллы | Критерии оценки выполнения задания |
График построен верно, получен верныйответ | |
График построен верно, ответ на вопрос не получен, получен неверно или не полностью | |
Случаи, не соответствующие указанным критериям. |
24. Углы В и А в треугольнике АВС равны 32° и 13°. Найдите сторону АВ, если радиус окружности, описанной около треугольника АВС равен, .
Решение:
Сумма углов в треугольнике равна 180°, значит, . По следствию из теоремы синусов: , где R – радиус окружности, описанной около треугольника АВС.
Ответ: 20.
Баллы | Критерии оценки выполнения задания |
Получен верный обоснованный ответ. | |
При верных рассуждениях допущена вычислительная ошибка, возможно приведшая к неверному ответу. | |
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. |
25. Точки М, N, K и L – середины сторон AB, BC, CD и DA прямоугольника . Докажите, что четырехугольник МNKL - ромб.
|
|
Доказательство: По свойству средней линии треугольника , , , .По свойству прямоугольника .
Значит, МN = LK=NK=ML. Т.о. МNKL – ромб. Ч.т.д.
Баллы | Критерии оценки выполнения задания |
Доказательство верное, все шаги обоснованы | |
Доказательство в целом верное, но содержит неточности | |
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям |
26. Площадь треугольника АВС равна 120. Точка D лежит на отрезке ВС и делит его в отношении 1: 2, считая от вершины В. Биссектриса ВК пересекает отрезок AD в точке M, и делит сторону АС в отношении 3: 1, считая от вершины А. Найдите площадь четырехугольника MDCK.
Решение: 1) По условию задачи, . Треугольники
АВК и СВК имеют общую высоты, проведенную из вершины В, значит, Поэтому,
2) По условию задачи, . Треугольники АВD и СAD имеют общую высоту, проведенную из вершины A, значит, Поэтому,
3) По свойству биссектрисы треугольника, . По условию, , значит BC =3BD. Таким образом, значит
4) Рассмотрим треугольник ABD, ВМ – биссектриса, значит,
Тогда и Поэтому, таким образом
5) Тогда по свойству площади многоугольника, , значит,
Ответ: 26.
|