Необходимые теоремы и опорные задачи для окружности, вписанной в треугольник и четырехугольник, и окружности, описанной около треугольника и четырехугольника
Приложение 1
1. Вписанная окружность – ее центр и радиус.
|
| O – точка пересечения биссектрис углов ∆ABC,
r – радиус вписанной окружности,
S – площадь ∆ABC
- для любого ∆
| Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис углов треугольника.
|
| -
- для прямоугольного ∆,
где c - гипотенуза
| Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис углов треугольника.
|
| -
- для правильного ∆,
где a - сторона
| Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис углов треугольника, медиан и высот.
|
2. Описанная окружность – ее центр и радиус.
|
| O – точка пересечения серединных перпендикуляров,
R – радиус описанной окружности
- для любого ∆,
| Центр описанной окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров
|
| - для прямоугольного ∆, где с – гипотенуза
| Центр описанной окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров, делит гипотенузу пополам.
|
| - для правильного ∆,
где а - сторона
| Центр описанной окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров, биссектрис, медиан.
|
3.Окружность. Касательные. Секущие. Хорды. Углы.
|
| AO∙OB = CO∙OD,
где O – точка пересечения хорд AB и CD
| Произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды относительно точки их пересечения.
|
| AB2 = AC∙AD,
где AB – касательная,
B – точка касания
| Произведение отрезка секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной, проведенных к окружности из одной точки.
|
| AB∙AC = AD∙AK,
где AC и AK - секущие
| Произведение отрезка секущей на ее внешнюю часть есть величина постоянная.
|
| AB – касательная,
BC – хорда
| Угол, образованный касательной и хордой, проведенных к окружности из одной точки, измеряется половиной дуги, заключенной внутри сторон этого угла.
|
| - вписанный угол,
| Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается и равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
|
| AB, CD – хорды
| Угол, вершина которого находится внутри окружности, измеряется полусуммой дуг, заключенных внутри сторон угла.
|
| AC и AK – секущие,
| Угол, образованный двумя секущими, измеряется полуразностью дуг, заключенных внутри сторон этого угла.
|
| AD – диаметр окружности,
| Вписанный угол, который опирается на диаметр, равен 90о.
|
|
| Вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу, равны между собой.
|
4. Теорема об отрезках касательных
|
| АВ = АС – касательные,
| Отрезки касательных равны.
АО – биссектриса угла ВАС
|
5. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.
|
| - прямой,
∆AHC, ∆CHB, ∆ACB –
подобны между собой
,
| Высота, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит данный ∆ на 2 подобных и каждый из них подобен данному.
Каждый катет есть среднее пропорциональное (среднее геометрическое) между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу.
Высота, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
|
6. Вписанный и описанный четырехугольники.
|
| = 180o,
= 180o
| Если суммы противоположных углов четырехугольника равны 180о, то около него можно описать окружность.
Верна и обратная теорема.
|
| AB + CD = AD + BC
| Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
Верна и обратная теорема.
|
| | | |