Лабораторная работа №3. «Оценка достоверности параметров и уравнения регрессии в целом»

По результатам выполнения лабораторной работы №2 «Парный корреляционно-регрессионный анализ»получено уравнение парной линейной регрессии:

Поскольку уравнение получено для отдельного региона, необходимо оценить его значимость для Приволжского федерального округа.

1. Проведем F-тест.

Предположим, что уравнение будет не значимо для генеральной совокупности (нулевая гипотеза). Запишем в формализованном виде нулевую и альтернативную гипотезы:

Уровень значимости задан по условию α=0,05.

Для расчета F-критерия нам нужно рассчитать несмещенные оценки воспроизведенной регрессией дисперсии и остаточной. Для этого необходимо определить соответствующие объемы вариации.

Общий объем вариации мы можем найти, умножив выборочную дисперсию зависимой переменной на численность выборки.

Далее определим выровненные значения для каждой единицы выборки, подставив индивидуальные значения независимой переменной в уравнение регрессии. Затем рассчитаем остатки и их квадраты для каждого наблюдения, сумма всех квадратов и будет являться остаточным объемом вариации.

Таблица1 - Расчетные данные.

№ п/п	Регион	Инвестиции в основной капитал, руб.	ВРП, тыс. руб.
	Приволжский федеральный округ	x	y
	Республика Башкортостан		52,5	60,74524	51,02041	236,7933798	67,98390021
	Республика Марий Эл		25,3	29,19474	402,289	261,2234277	15,16896072
	Республика Мордовия		26,9	40,57064	340,6661	22,9106096	186,886398
	Республика Татарстан		69,6	73,02157	587,7161	765,3205291	11,70714126
	Удмуртская Республика		51,5	49,80537	37,73469	19,78668023	2,871787783
	Чувашская Республика		29,7	36,38754	245,1461	80,45377541	44,72319125
	Кировская область		34,7	31,05941	113,5747	204,4253078	13,25393195
	Нижегородская область		55,1	37,90126	94,92327	55,59026374	295,7968296
	Оренбургская область		46,9	49,33034	2,380408	15,7862558	5,906528212
	Пензенская область			34,36689	235,8418	120,7856579	19,06972827
	Пермская область		66,5	65,95284	447,0204	424,1827408	0,299384066
	Самарская область		73,2	55,32493	775,2247	99,35678053	319,5181275
	Саратовская область		39,2	39,0392	37,91041	39,91640195	0,02585664
	Ульяновская область		33,9	32,3037	131,2661	170,3923704	2,54817369
Итого			635,0036	3502,714	2516,924181	985,7599391
среднее	7142,286	45,357

Wобщ. = ∑ = 3502,714

Wрегр. = ∑ = 2516,924

Wост. = ∑ = 985,76

2. Определим число степеней свободы:

d.f.общ. = n – 1 = 14 – 1 = 13

d.f. регр. = m – 1 = 1

d.f.ост.=d.f.общ. - d.f.регр.=(n-1)-(m-1)=13-1=12

3. Поделив объемы вариации соответствующие им степени свободы, получим несмещенные оценки дисперсии.

4. Проведем сравнение дисперсий.

> = 2516,924 > 82,147, следовательно, модель является достоверной, так как регрессионная дисперсия превышает остаточную в несколько раз.

5. Рассчитаем фактическое значение критерия Фишера:

Теоретическое значение найдем, воспользовавшись встроенной формулой:

Вставка функций/статистические/fраспобр(α;df регр; df ост).

В нашем случае введем следующие данные: fраспобр(0,05;1; 12), в итоге было получено значение 4,7472.

Fфактич. > Fтабл. = 30,640 > 4,7472

Следовательно, принимается альтернативная гипотеза () и уравнение в целом значимо для генеральной совокупности, модель достоверна.

Также существует еще один способ нахождения значений F-теста, этот метод носит название «Компьютерный». Значения находятся с помощью программы «Excel».

Для этого в «Excel» открываем вкладку «Сервис», затем «Анализ данных» и выбираем «Регрессия».

ВЫВОД ИТОГОВ
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия		2516,954	2516,954	30,640	0,000129
Остаток		985,760	82,147
Итого		3502,714
	Коэффи циенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	20,038	5,176	3,871	0,002	8,760	31,315	8,760	31,315
Переменная X 1	0,004	0,0006	5,535	0,000	0,002	0,005	0,002	0,005

Проверим значимость параметров и коэффициента корреляции по t-критерию.

Сформулируем нулевую и альтернативную гипотезы:

Уровень значимости критерия по условию.

Рассчитаем средние ошибки выборочных характеристик:

Определим средние ошибки для коэффициента корреляции по формулам:

Далее рассчитаем фактические значения критериев:

Критическое значение найдем, используя встроенную функцию:

Вставка функций/статистические/стьюдраспобр(α;v=n-m-1), в нашем случае:

Каждый из параметров уравнения оказался значимым, как и коэффициент корреляции для генеральной совокупности. Результаты корреляционно-регрессионного анализа можно распространять на всю генеральную совокупность, использовать уравнение в целях прогнозирования.

В отношении значимости коэффициента корреляции, коэффициента регрессии мы и не могли получить других выводов, поскольку F-тест указал на значимость уравнения в целом, поскольку для парной линейной регрессии:

Это равенство действительно выполняется:

Если параметры уравнения оказались значимыми, то возможно их интерпретация и распространение выводов на генеральную совокупность.

Проведем интервальную оценку параметров уравнения регрессии и коэффициента корреляции. Определим доверительные интервалы для генеральных параметров:

С 95% уровнем вероятности суждения можно утверждать, что условное начало попадет в интервал от 8,760 до 31,315:

Генеральный коэффициент полной регрессии будет находиться в пределах:

, а коэффициент корреляции:

По расчетам верхняя граница получилась равной 1,2, поэтому следует указать максимально возможное значение для коэффициента корреляции, то есть единицу.