Теоретические сведения. 1. Вычислить заданный определённый интеграл по формулам трапеций и Симпсона при

Лабораторная работа №8

ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Цель работы

1. Вычислить заданный определённый интеграл по формулам трапеций и Симпсона при .

2. Оценить погрешность полученных результатов.

Содержание отчета

1. Постановка задачи.

2. Определение значений подынтегральной функции в точках деления.

3. Нахождение приближённого значения определённого интеграла по формуле трапеций и оценка погрешности.

4. Вычисление приближённого значения определённого интеграла по формуле Симпсона и оценка погрешности.

Все вычисления представить в виде таблицы аналогично приведенному ниже примеру.

Теоретические сведения

1. Формула трапеций. Пусть требуется вычислить приближённо . Разбиваем отрезок на равных частей. Получаем точки деления:

, , …, ,

где .

Обозначаем .

На каждом частичном отрезке подынтегральную функцию заменяем интерполяционным многочленом первой степени, построенным по двум узлам интерполяции ( и ), т.е. дугу графика подынтегральной функции заменяем стягивающей её хордой. Отсюда получаем приближённое равенство

. (8.1)

Сумма интегралов (8.1) по всем отрезкам дает общую квадратурную формулу трапеций

. (8.2)

Погрешность этой формулы -

,

где .

2. Формула Симпсона. Приближённое значение определённого интеграла можно вычислить и другим спосо6ом. Разбиваем отрезок на равных частей ( - чётное). Рассмотрим отрезки , , …, . На каждом сдвоенном отрезке функцию заменяем интерполяционным многочленом второй степени, построенным по трём узлам интерполяции (, , ), т.е. дугу графика подынтегральной функции на каждом сдвоенном отрезке заменяем параболой, проходящей через точки , , . Отсюда получаем приближённое равенство

. (8.3)

Сумма интегралов (8.3) по всем сдвоенным частичным отрезкам дает общую формулу Симпсона

. (8.4)

Погрешность этой формулы -

,

где .

3. Оценка погрешности квадратурных формул. Обозначим: , - приближённые значения определённого интеграла, вычисленные по квадратурной формуле с шагом и .

Отметим, что нахождение трудностей не вызывает, так как не требуется вычисления новых значений подынтегральной функции. Погрешность квадратурной формулы при вычислении интеграла с шагом удовлетворяет неравенствам:

для формулы трапеций

; (8.5)

для формулы Симпсона

; (8.6)

Пример. Вычислить приближённо по формулам трапеций и Симпсона при . Оценить погрешность полученных результатов.

По условию . Отсюда . Дальнейшие вычисления оформляем в виде таблицы.

			Формула трапеций	Формула Симпсона
	0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2	0.099990 0.199680 0.297589 0.390015 0.470588 0.531161 0.564470 0.567536 0.543445 0.500000 0.446410 0.390421
			9,612189	4,767205	14,457172	7,228887
			0,480609	0,476720	0,481905	0,481925
			0,001297 <0,002		0,0000015 <0,000002

Ответ: (по формуле трапеций);

(по формуле Симпсона).

Рассмотрим порядок заполнения таблицы.

1. Определяем значения (). В данном случае ,

2. Находим значения подынтегральной функции в точках , т.е.

, ().

3. Вычисляем приближённое значение определенного интеграла по формуле (8.2) c шагом . При этом . Формула (8.2) имеет вид

. (8.7)

В столбце проставлены коэффициенты суммы (3,7), в строке - значение , в cтроке – ответ .

4. Для оценки погрешности вычисляем приближённое значение определенного интеграла по формуле (8.2) с шагом . При эта формула имеет вид

.

Так как точки пропускаются, полагаем для них .

5. Оцениваем погрешность вычисления по формуле (8.2) с шагом с помощью неравенства

.

6. Находим приближённое значение определенного интеграла по (8.4) с шагом (при этом ):

.

7. Вычисляем приближённое значение определенного интеграла по (3.4) с шагом (при этом :

.

8. Оцениваем погрешность вычисления по (8.4) с шагом с учетом неравенства

.

Варианты лабораторных работ

Номер варианта	Определенный интеграл		Номер варианта	Определенный интеграл