Основные определения.Определение. Матрицей размера mхn, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i- номер строки, а j- номер столбца. А =
Основные действия над матрицами.Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента. Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной. Определение. Матрица вида: = E, называется единичной матрицей. Определение. Если amn = anm, то матрица называется симметрической. Пример. - симметрическая матрица
Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц: С = А + В = В + А. Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.
a (А+В) =aА ± aВ
Пример. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В.
Операция умножения матриц.Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам: A*B = C;
Свойства операции умножения матриц.1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ не равно ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными. А*Е = Е*А = А Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство: 2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство: 3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно: А(В + С) = АВ + АС (А + В)С = АС + ВС. 4) Если произведение АВ определено, то для любого числа a верно соотношение: 5) Если определено произведение АВ , то определено произведение ВТАТ и выполняется равенство: 6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detA*detB. Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В. другими словами, bji = aij. В качестве следствия из предыдущего свойства (5) можно записать, что: Пример. Даны матрицы А = , В = , С = и число a = 2. Найти АТВ+aС.
Пример. Найти произведение матриц А = и В = . |
Элементарные преобразования матриц Элементарные преобразования системы линейных уравнений Вернуться в оглавление: Высшая математика |