Теорема Кронекера Капелли. Доказательство, примеры

(условие совместности системы)
(Леопольд Кронекер (1823-1891) немецкий математик)

            Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

RgA = RgA*.

            Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:
x1  + x2 + … + xn

            Доказательство.

            1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А->А* не изменяют ранга.

            2) Если RgA = RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

Пример. Определить совместность системы линейных уравнений:

A =

~ .                            RgA = 2.
A* =           RgA* = 3.

Система несовместна.

Пример. Определить совместность системы линейных уравнений.

                     А = ;  = 2 + 12 = 14 не равно 0;    RgA = 2;

A* =

        RgA* = 2.
Система совместна. Решения: x₁ = 1;  x₂ =1/2.

Линейная алгебра матрицы. Решение

Теория категорий

Вычислительная геометрия

Решение методом Гаусса | Система уравнений методом Гаусса

Элементарные преобразования матриц

Вернуться в оглавление: Высшая математика