Кафедра САУ
В.П. Литвинов
Однофазные электрические цепи
синусоидального тока
Задание на типовой расчет
Красноярск, 2012
Содержание работы
I. Для указанной схемы при наличии взаимной индуктивности:
1. Найти токи во всех ветвях электрической схемы.
2. Составить баланс активных и реактивных мощностей.
3. Построить топографическую диаграмму токов и напряжений цепи.
4. Построить волновую диаграмму токов и напряжения для ветви, содержащей источник электрической энергии.
II. Для указанной схемы произвести развязку взаимной индуктивности и методом пропорционального пересчета:
1. Найти токи во всех ветвях электрической схемы.
2. Составить баланс активных и реактивных мощностей.
III. Для указанной схемы при присутствии взаимной индуктивности методом сигнальных графов найти ток через источник (по заданию преподавателя).
Указания
1. Сопротивления взаимных индуктивностей находятся из выражения
, где - коэффициент индуктивной связи.
|
|
2. На топографических диаграммах должны быть показаны векторы напряжений на всех элементах схемы.
3. Напряжения на элементах схемы, обладающих взаимной индуктивностью, должны быть разделены на составляющие.
Числовые данные параметров схем
Таблица 1
№ п/п | |||||||||
Ом | Ом | Ом | Ом | Ом | Ом | В | |||
0,5 | 0,5 | ||||||||
0,2 | 0,8 | ||||||||
0,4 | 0,6 | ||||||||
0,6 | 0,4 | ||||||||
0,8 | 0,2 | ||||||||
0,3 | 0,3 | ||||||||
0,5 | 0,3 | ||||||||
0,8 | 0,8 | ||||||||
0,6 | 0,2 |
Таблица 2
№ п/п | ||||||||||||
Гн | Гн | Гн | Гн | Гн | Гн | мкФ | мкФ | мкФ | мкФ | мкФ | мкФ | |
0,02 | 0,03 | 0,04 | 0,015 | 0,035 | 0,06 | |||||||
0,04 | 0,02 | 0,03 | 0,01 | 0,05 | 0,05 | |||||||
0,03 | 0,06 | 0,04 | 0,02 | 0,05 | 0,04 | |||||||
0,05 | 0,04 | 0,05 | 0,025 | 0,02 | 0,03 | |||||||
0,03 | 0,05 | 0,06 | 0,04 | 0,04 | 0,02 | |||||||
0,05 | 0,04 | 0,02 | 0,03 | 0,035 | 0,06 | |||||||
0,04 | 0,03 | 0,035 | 0,04 | 0,03 | 0,045 | |||||||
0,06 | 0,06 | 0,05 | 0,05 | 0,08 | 0,03 | |||||||
0,04 | 0,02 | 0,06 | 0,03 | 0,05 | 0,025 |
Типовой расчет
Цепь синусоидального тока
Цель расчета: освоение символического метода расчета целей синусоидального тока при наличии индуктивных связей, построение векторных диаграмм токов и топографических диаграмм напряжений заданной цепи, применение основных положений теории к расчету конкретной электрической цепи переменного тока.
|
|
Исходные данные: схема электрической цепи и ее параметры.
Содержание работы: приведено в задании на типовой расчет.
Литература
Атабеков Г.И., Теоретические основы электротехники, ч.1, М, энергия, 1970, Индуктивно-связанные электрические цепи, стр. 216-231.
Бессонов Л.А., Теоретические основы электротехники, М, Высшая школа, 2003.
Пример выполнения расчета
В качестве примера приведем расчет электрической цепи, схема которой показана на рис. 1.
Рис. 1. Схема электрической цепи.
Параметры элементов цепи:
В;
Ом; Ом; Ом; Ом;
Г; Г; Г; Г; Г;
мкФ; мкФ; мкФ;
Коэффициенты индуктивной связи ; .
1. Нахождение токов в ветвях электрической схемы.
1.а) Определяем сопротивления элементов электрической цепи.
Сопротивления индуктивные:
Ом; Ом;
Ом; Ом;
Ом;
Сопротивления емкостные:
Ом; Ом;
Ом;
Сопротивления взаимных индуктивностей:
Ом;
Ом;
б). Упрощаем данную схему до трехконтурной, делаем разметку схемы и показываем направления контурных токов.
Рис 2. Расчетная схема по методу контурных токов.
Эквивалентное сопротивление параллельной цепочки и (рис 1)
Ом,
откуда Ом; Ом.
Для расчета цепи используем метод контурных токов. Метод узловых потенциалов для случаев, когда в цепи индуктивно-связанные катушки не применяются.
Контурными токами считаем . Уравнения составляем относительно контурных токов. При составлении уравнений очень внимательно следим за знаками у слагаемых, которые обусловлены взаимной индуктивностью. Знак плюс берем, если влияющий ток и направление контурного тока рассматриваемого контура одинаково ориентированы относительно одноименных зажимов. В противном случае берется знак минус.
в) Составляем систему уравнений.
1й контур:
2й контур:
3й контур:
Подставляем в написанное выше уравнения все известные величины:
Окончательно получаем
Переводя комплексные числа в показательную форму имеем
(I)
Полученную систему трех уравнений с тремя неизвестными представим в матричной форме
г). Решаем матричное уравнение относительно матрицы
Находим определитель системы (I)
Определяем алгебраические дополнения элементов матрицы
Запишем матрицу относительно тока в развернутой форме
Отсюда
Находим токи в ветвях схемы
2. Составления баланса активных и реактивных мощностей.
Комплексная мощность равна произведению комплексного напряжения (э.д.с.) на сопряженный ток
ВА.
Источник энергии отдает в цепь активную мощность
Вт,
реактивную мощность
ВАр.
Мощность, потребляемая в активных сопротивлениях
Вт.
Погрешность
Реактивная мощность, потребляемая в индуктивностях, взаимно-индуктивностях и емкостях
Погрешность
что допустимо (допускается до 8%).
Необходимо отметить, что в формулу для потребляемой реактивной мощности по одному разу входят попарные произведения токов магнитосвязанных друг с другом ветвей, умноженные на удвоенные соответствующие сопротивления взаимоиндукции и на косинусы углов между токами этих ветвей.
3. Построение векторной диаграммы токов и топографической диаграммы напряжений.
Выберем масштаб для тока. Наибольшее значение тока, полученное по расчету, равно
Удобно принять масштаб . В этом случае длина максимального вектора тока будет . Длина минимального вектора тока Действительную ось комплексной плоскости направляем вертикально вверх (рис. 4), мнимую горизонтально влево.
На графике векторы токов можно строить либо по модулям и начальным фазам (с помощью транспортира), либо по их действительным и мнимым частям. На рис. 4 изображена векторная диаграмма токов. Топографическую диаграмму напряжения на всех элементах электрической цепи в масштабе напряжения, отложив на комплексной плоскости соответствующие отрезки.
|
|
Составляем подробную расчетную схему цепи (рис. 3). На этой схеме показываем действительные направления всех токов, э.д.с. и падения напряжений на элементах цепи. Точки, где соединяются элементы цепи обозначаем буквами а, б, с, и т.п.
Рис. 3.
Определяем падения напряжения на элементах цепи
Выбираем масштаб напряжения .
Построение топографической векторной диаграммы напряжений нужно всегда начинать с разветвления на конце схемы и с точки низшего потенциала. В данной схеме построение начинаем с точки "a", которую поместим в начало координат на комплексной плоскости (рис. 4).
От точка "a" откладываем отрезок ab, представляющий в масштабе напряжения падения напряжения в индуктивности . Отрезок ab равен 19,5 мм. Вектор опережает ток на .
От точки "b" откладываем вектор падения напряжения , отстающий от тока на , и определяем точка "с". Отрезок bc равен 4 мм.
Из точки "c" откладываем вектор по направлению тока и на графике находим точку d. Отрезок cd равен 1,7 мм.
Из точки d откладываем вектор падения напряжения , опережающий ток на . На графике находим точку f¢. Отрезок df¢ равен 29 мм.
Из точки f¢ откладываем вектор падения напряжения , опережающий ток на . На графике находим точку f. Отрезок f¢f равен 33,5 мм.
Замыкающий отрезок af равный 41 мм, представляет собой вектор падения напряжения на ветвях, заключенных между узлами a и f. Вектор может быть представлен геометрической суммой векторов и .
Точку g¢ на топографической диаграмме находим по падению напряжения в индуктивности . Вектор опережающий ток на .
Из точки g¢ проводим вектор падения напряжения на взаимной индуктивности от тока . Вектор опережающий ток на . Находим на графике точку g¢¢. Отрезок g¢g¢¢. Равен 21,4 мм.
Из точки g¢¢ откладываем вектор падения напряжения , опережающий ток на . Находим точку g. Отрезок g¢¢g равен 78,5 мм.
|
|
Точку h на топографической диаграмме находим по падению напряжения на сопротивлении . Вектор совпадает по направлению с вектором тока . Точку h можно определить по падению напряжения на индуктивности , взаимной индуктивности от
Рис. 4. Векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений при наличии индуктивных связей и : ; .
тока и сопротивлений , соотношении , и (рис 4).
Из точки h откладываем вектор падения напряжения в индуктивности . Находим на графике точку m. Вектор , опережающий ток на . Отрезок hm равен 114 мм.
Точку n на топографической диаграмме находим по падению напряжения на емкости . При этом стрелка падения напряжения должна смотреть в точку a. Вектор отстает от тока на . Отрезок na равен 19,3 мм. Замыкающая nm дает вектор э.д.с. источника. . Отрезок nm направлен под углом - к действительной оси и равен величине э.д.с. . Это доказывает, что топографическая диаграмма построена верно.
4. Построение волновой диаграммы и .
Э.д.с. нам задана. Ее мгновенное значение равно , где ,
.
Для построение этой зависимости на графике определяем масштаб времени и напряжения.
Чтобы на графике было удобно строить синусоиды э.д.с. и тока, выбираем масштаб по оси абсцисс для градуса аргумента . Тогда целому периоду будет соответствовать отрезок . Этот же отрезок будет соответствовать времени . Синусоида э.д.с. сдвинута вправо относительно начала координат на угол или на . Амплитуда э.д.с. . Выбираем масштаб . Кривую (рис 5) строим по точкам по значениям синусов для углов , , , и (или , , , и ). Например, при , .
В результате расчета получено значение тока, протекающего через источник .
Мгновенное значение этого тока , где .
Синусоида тока сдвинута вправо относительно начала координат на угол или на .
Масштаб тока выбираем .
Кривую строем по точкам (рис. 5).
Рис. 5. Кривые и
,
II. Метод пропорционального пересчета. Приведен пример расчета для схемы (рис. 6), в которой взаимная индуктивность убрана.
Типовой расчет будем производить для заданной схемы при развязанной взаимной индуктивности. Развязку сделать самостоятельно!!!
1. Делаем разметку схемы (рис. 6).
2. Задаемся произвольной величиной .
.
Масштаб для тока выбираем , масштаб для напряжения .
Построение векторной диаграммы начинаем с точки b (рис. 7). Откладываем в произвольном направлении ток , и проводим из точки b вектор , который отстает от тока на .
3. Находим ток
.
Откладываем ток на диаграмме по напряжению .
4. Из диаграммы определяем ток как сумму и .
.
5. .
.
Из точки C откладываем вектор , который опережает ток .
Находим точку d, вектор проводим к точке b, опережает на . Находим точку a.
6. Из диаграммы - замыкающая между точками d и a, есть
.
7. Определяем полное сопротивление ветви da
.
Учитывая п.6 и п.7 получаем
.
.
Откладываем вектор тока , опережающий напряжение на угол .
8. Находим ,
.
Откладываем полученные векторы на диаграмме и находим точку e.
9. Из диаграммы находим ток , складываем геометрически и .
.
10. На диаграмме находим точки f и k, предварительно отложив векторы напряжения
- от точки d против часовой стрелки на к .
- от точки f по току .
11. Из векторной диаграммы замыкающаяся между точками k и a есть напряжение
.
12. Находим ток и откладываем его на диаграмме
.
.
,
.
Откладываем вектор и , находим точку h.
13. Из диаграммы определяем ток складываем геометрически и
.
14. , .
Из точки k откладываем вектор , который опережает ток на . Находим точку m.
Вектор проводим к точке a по часовой стрелке на к току . Находим точку n.
15. Из диаграммы - , замыкающая между точками m и n
.
Так как эта величена не равна заданной э.д.с. ,то все значения токов и напряжений надо пересчитать по условию прямой пропорциональности.
Коэффициент пересчета .
По условию задачи , то есть имеется начальная фаза, определяемая углом - . По этому на топографической векторной диаграмме наносим действительную и мнимые оси, таким образом, чтобы вектор составлял с действительной осью .
В результате этого токи и напряжения можно записать в комплексной форме, при этим модули должны быть уменьшены в 6,82 раза.
Рис. 7. Векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений при отсутствии индуктивных связей и : ; .
Искомые напряжения
Диаграмма и для действительных величин останется такой же изменится только ее масштаб. Поэтому на рис. 7 векторы обозначают , , и т.д., а не , , и т.д.
Составление баланса активных и реактивных мощностей. Как известно, комплексная мощность равна произведению комплексной э.д.с. на сопряженный комплексный ток.
Мощность источника энергии
Отсюда ,
.
Мощность, развиваемая в активных сопротивлениях
Погрешность
допускается до 5%.
Реактивная мощность в индуктивностях
Погрешность
Допускается до 8%.
Вопросы по расчету при защите.
Определить аналитически показание вольтметра, подключенного к точкам e и d цепи. Показать на топографической диаграмме напряжений вектор .
Включить ваттметр в цепь так, чтобы он измерял мощность, затрачиваемую на выделение тепла в сопротивлении .
Произвести развязку индуктивных связей.
Определить сопротивление , если частота тока в цепи равна .
Определить показание ваттметра, если через него проходит ток ________напряжения подключена к точкам k и d (рис.)
___________ выражение для мгновенного значения напряжения U _____________ зависимости .