Парный регрессионный анализ. Линейные модели

Пример выполнения индивидуального задания. По территориям региона приводятся данные

Номер региона	Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., x	Среднедневная заработная плата, руб., y

Требуется:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии y по x.

2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции, коэффициент детерминации и среднюю ошибку аппроксимации.

3. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом и отдельных параметров регрессии и корреляции с помощью F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.

4. Выполнить прогноз заработной платы y при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума x, составляющем 105% от среднего уровня.

5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

6. На одном графике отложить исходные данные и теоретическую прямую.

Решение:

1. Для расчета параметров уравнения линейной регрессии построим расчетную таблицу

№
Сумма
	87,08
		135,42
			11915,5
				7697,92
	114,41
					18542, 75

Составим уравнение регрессии

С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастет в среднем на 1,07руб.

2. Найдем коэффициент корреляции

Так как значение коэффициента корреляции больше 0,803, то это говорит о наличии высокой тесноты связи между признаками.

Найдем коэффициент детерминации по формуле

Для удобства вычислений строим таблицу

№
			-13.42	180.01	135.09	-0.33	0.11
			-1.42	2.01	146.49	11.07	122.62
			0.58	0.34	133.19	-2.23	4.96
			-10.42	108.51	142.69	7.27	52.90
			-15.42	237.67	139.84	4.42	19.57
			-8.42	70.84	132.24	-3.18	10.09
			-10.42	108.51	139.84	4.42	19.57
			12.58	158.34	149.34	13.92	193.86
			-13.42	180.01	135.09	-0.33	0.11
			21.58	465.84	153.14	17.72	314.12
			8.58	73.67	136.99	1.57	2.48
			29.58	875.17	169.29	33.87	1147.40
Сумма				2460,92	1713,23		1887,77
		135,42

Это означает, что 77% вариации заработной платы (y) объясняется вариацией фактора x – среднедушевого прожиточного минимума.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации

Для удобства расчетов строим таблицу

13.09	0.11	10.73
12.49	0.09	9.32
-2.81	-0.02	2.07
17.69	0.14	14.15
19.84	0.17	16.53
5.24	0.04	4.13
14.84	0.12	11.87
1.34	0.01	0.91
13.09	0.11	10.73
-3.86	-0.02	2.46
-7.01	-0.05	4.87
4.29	0.03	2.60
сумма		90,36

Так как средняя ошибка аппроксимации не должна превышать 8-10%, а в нашем случае, это 7,53%, то качество модели оценивается как хорошее.

3. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом и отдельных параметров регрессии и корреляции с помощью F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.

Уравнение регрессии значимо на уровне , если

и

Найдем табличное значение F-критерия Фишера – . Так как то уравнение регрессии значимо.

В парной линейной регрессии оценивается значимость не только уравнения в целом, но и отдельных его параметров. С этой целью по каждому из параметров определяется его стандартная ошибка и .

Стандартная ошибка коэффициента регрессии определяется по формуле:

где

выборочная остаточная дисперсия.

№
			135.09	13.09	-8.08	65.34
			146.49	12.49	3.92	15.34
			133.19	-2.81	-10.08	101.67
			142.69	17.69	-0.08	0.01
			139.84	19.84	-3.08	9.51
			132.24	5.24	-11.08	122.84
			139.84	14.84	-3.08	9.51
			149.34	1.34	6.92	47.84
			135.09	13.09	-8.08	65.34
			153.14	-3.86	10.92	119.17
			136.99	-7.01	-6.08	37.01
			169.29	4.29	27.92	779.34
Сумма						1372,92
	87,08

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе величины ошибки коэффициента корреляции :

Вычисляем значения t-критерия Стьюдента:

Найдем фактическое значение t-критерия для числа степеней свободы равному 10 и уровню значимости

Так как , , , поэтому параметры , не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии и . Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя.

Доверительные интервалы:

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры и , находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т. е. являются статистически значимыми и существенно отличны от нуля.

4. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит: руб., тогда индивидуальное прогнозное значение заработной платы составит:

руб.

5. Ошибка прогноза составит:

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит

Доверительный интервал прогноза

Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы является надежным () и находится в пределах от 117,84 руб. до 152,99 руб.

6. В заключении решения задачи построим на одном графике исходные данные и теоретическую прямую.