Решение дифференциальных уравнений

Многие задачи математики и физики описываются дифференциальными уравнениями вида y^’(x) = f(x,y). Нелинейные одиночные дифференциальные уравнения и системы таких уравнений, как правило, не имеют аналитических методов решения, и здесь особенно важна возможность их решения методами. MathCADимеет развитые средства для численного решения систем дифференциальных уравнений. В большинстве случаев желательно представление в графическом виде, что также позволяет легко реализовать система MathCAD.

В то же время нужно отметить, что в отличие от более продвинутых математических систем, таких как Mathematica2 и 3 или MapleVR4 или R5, MathCADне имеет средств для аналитического решения техдифференциальных уравнений, которые такое решение имеют.

Функции для решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Для решения задач такого класса в MathCADвведен ряд функций. Вначале остановимся на функциях, дающих решения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений:

rkadapt (y, x1, x2, acc, n, F, k, s) – возвращает матрицу, содержащую таблицу

значений решения задачи Коши на интервале

от х1 до х2 для системы обыкновенных диффе-

ренциальныхуравнений, вычисленную методом

Рунге-Кутта с переменным шагом и начальными

условиями в векторе у (правые части системы

записаны в векторе F, n – число шагов, k– макси-

мальноечисло промежутков точек решения и s–

минимально допустимый интервал между

точками);

Rkadapt (y, x1, x2, n, F) – возвращает матрицу решений методом Рунге-Кутта с переменным шагом для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями в векторе y, правые части которых записаны в символьном векторе F, на интервале от х1 до х2, n – число шагов;

rkfixed (y, x1, x2, n, F) –возвращает матрицу решений методом Рунге- Кутта системы обыкновенных дифференци-альных уравнений с начальными условиями в векторе y, правые части которых записаны в символьном векторе F, на интервале от х1 до х2 при фиксированном числе шагов n.

Рассмотрим пример решения системы двух дифференциальных уравнений с построением решения в виде фазового портрета колебаний, которые описываются решением заданной системы уравнений.