Теорема Эйлера

Цепь называется эйлеровой, если она является простой и проходит по всем ребрам графа. Эйлеровым циклом называется простой цикл, проходящий по всем ребрам. Граф, имеющий эйлеровый цикл, называется эйлеровым графом.

Теорема: Для того чтобы связный граф был эйлеровым необходимо и достаточно, чтобы степени всех вершин его были четными.

Доказательство:

1) Докажем необходимость.

G AAgAAAAhAMpUagZYBAAAgRIAAA4AAAAAAAAAAAAAAAAALgIAAGRycy9lMm9Eb2MueG1sUEsBAi0A FAAGAAgAAAAhAFe8DSrbAAAAAwEAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAAsgYAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbFBL BQYAAAAABAAEAPMAAAC6BwAAAAA= ">

Пусть есть вершина с нечетной степенью. Эта вершина не может быть первой, так как выходить и возвращаться в нее можно, используя четное число ребер. Нечетное ребро обусловит окончательный уход из этой вершины. Но эта вершина должна быть и последней, чтобы обеспечить цикл. Что не возможно.

Вершина с нечетной степенью не может быть и промежуточной, ибо в конечном итоге в этой вершине закончится цепь. Кроме ребра, по которому однажды в эту вершину зашли, останется четное число ребер, по которым будем уходить из вершины и обязательно в нее возвращаться.

Таким образом, доказана необходимость того, чтобы все вершины были четными.

2) Докажем достаточность требования четности вершин.

Возьмем любой граф, содержащий только вершины четной степени.

Строим из любой вершины простой цикл.

Строим для любой вершины в контуре простой цикл из свободных ребер и вставляем новый цикл в предыдущий.

То есть при обходе прерываем в соответствующей вершине первый цикл и проходим второй, закончив его в вершине, из которой вышли. И заканчиваем первый цикл.

Если таким образом пройдены все ребра графа, то теорема доказана. Иначе выбирается новая вершина, инцидентная не пройдённым ребрам (их четное число) и строится новый цикл. И так до исчерпания не пройдённых ребер графа.

Таким образом, теорема доказана. Следствие. Для того, чтобы в графе существовала Эйлерова цепь необходимо, чтобы в нем было ровно две вершины с нечетной степенью, причем эта цепь начинается в одной из этих вершин и заканчивается в другой.

Известная детская задача нарисовать, не отрывая карандаша, домик.

Элементарный цикл, проходящий через все вершины, называется гамильтоновым циклом, а соответствующий граф – гамильтоновым графом.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



double arrow
Сейчас читают про: