Вычисление площадей плоских фигур

Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”.

Для нахождения суммарной площади используется формула .

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

y = x, y = x², x=2.

Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:

(ед²)

Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически

, прямыми x=a, x=b и осью Ох, то площадь ее находится по формуле

,

где α и β определяются из равенств х(α)=а и х(β)=b.

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом x=cost, y=2sint.

Найдем сначала ¼ площади S. Здесь х изменяется от 0 до 1, следовательно t изменяется от π/2 до 0. Находим:

(ед²)

(ед²)

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически: .

Выясним, какую фигуру ограничивает заданная кривая. Функции x = x(t) и y = y(t) определены, непрерывны и дифференцируемы при любом действительном значении параметра . Если , то , а если. , то .

Наибольшее значение x принимает при x’(t) = 0, 2–2t = 0; t = 1, x(1) = 1; y(1) = 1. Если x = 0, то t = 2 или t = 0. При этих же значениях параметра y = 0. Таким образом, точка с координатами (0;0) является точкой самопересечения. Следовательно, искомая площадь ограничена петлей кривой, расположенной в первом квадранте, и соответствует изменению параметра от t = 0 до t = 2 при положительном направлении обхода.

Площадь искомой фигуры можно вычислить по формуле

, ,

Тогда

(ед²)

Поскольку некоторые кривые могут быть заданы простыми параметрическими уравнениями, то вычисление площади фигуры, ограниченной замкнутой кривой, в декартовых координатах зачастую удобнее проводить, перейдя к параметрической форме записи.