Определение множества

Лекция 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

МНОЖЕСТВА

1. Множества и подмножества.

2. Операции над множествами.

3. Упорядоченные множества.

Определение множества

В математике некоторые понятия являются первичными, неопределяемыми. К ним относятся понятия натурального числа, точки, прямой и т. д.

Одним из таких неопределяемых понятий является понятие «множество». Этому понятию нельзя дать формального определения, которое не сводилось бы просто к замене слова «множество» его синонимами «совокупность», «набор элементов» и т. п. Множества можно составлять на основе самих различных признаков из самых разнообразных объектов (которые в дальнейшем будем называть элементами множества). Множество можно задать, указывая, например, некоторое свойство объектов, образующих множество, правило построения элементов множества и т. д. Можно говорить не только о множествах, элементами которых являются материальные объекты, но и о множествах, элементы которых — некоторые абстрактные понятия (числа, геометрические фигуры, символы и т. п.).

Понятие «множество» не следует понимать буквально и толковать его как совокупность, содержащую «много» элементов. Под множеством также понимается совокупность объектов, которая может состоять, например, из одного, двух и т. д. элементов. Более того, оказывается удобным считать множеством даже пустое множество, т. е. множество, не содержащее ни одного элемента. Рассматривать пустое множество необходимо хотя бы только потому, что, когда мы определяем тем или иным способом множество, мы можем и не знать заранее, содержит ли оно хотя бы один элемент.

Множества чаще всего обозначаются прописными буквами латинского алфавита A, В,..., X, а их элементы — малыми буквами: а, b,..., х. Пустое множество обозначается специальным символом Ø.

Если множество А состоит из п элементов a_1, a₂, …, а₃, то пишут

А = { a₁; a₂; …; а₃ }.

Говорят: «элемент а принадлежит множеству А»—и записывают: а А или А а (А содержит а); запись а А означает, что элемент а не принадлежит множеству А.

Любое множество А имеет в качестве своих подмножеств пустое множество и само множество А.

Определение. Под множеством понимается совокупность (собрание, набор) некоторых объектов. Объекты, образующие множество, называются элементами или точками этого множества. Множества обозначаются прописными буквами, а их элементы – строчными. Принадлежность или непринадлежность элемента множеству выглядит так: аÎ А, bÏ В.

Например, если А – множество двузначных натуральных чисел, то Множество русских гласных букв, которые не могут находиться в начале слова, содержит единственный элемент – «ы». Таким образом, множества могут содержать ограниченное число элементов.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Æ.

Пример

Множество девятируких студентов является пустым.

Задание 1.1.1. Определите, какие из чисел –11,5; 0; принадлежат множеству В положительных чисел. Задание 1.1.2. Приведите примеры пустого множества и множества, содержащего единственный элемент.

Если множество В состоит из части элементов множества А, то множество В называется подмножеством множества А и обозначается .

Пример

Множество работников младшего медицинского персонала составляет подмножество множества сотрудников медицинских учреждений. Если рассмотреть числовые множества и , то второе множество будет подмножеством первого. Но если хотя бы один элемент множества В не является элементом множества А, то подмножественность не выполняется.

Пример

Пусть А — множество рациональных чисел, В — множество натуральных чисел. В этом случае В А.

Если для двух множеств А и В одновременно справедливы утверждения А В и В А, то множества А и В состоят из одних и тех же элементов. Такие множества А и В называют равными (или совпадающими) и пишут

А = В.

Непустое подмножество В множества А называется собственным, если В не совпадает с А.