П.1 Понятие множества

Элементы теории множеств.

Основу теории математики-науки составляют понятия (одни из которых определяются, а другие не определяются, а лишь поясняются на конкретных примерах) и отношения между этими понятиями, которые устанавливаются при помощи соответствующих аксиом и определений. Дальнейшее построение математической теории осуществляется последовательной системой теорем и новых определений, устанавливающей свойства изучаемых математических объектов.

Опр.1.1 Одним из фундаментальных, неопределяемых математи-ческих понятий является понятие множества. Множество можно представить себе как соединение, совокупность, собрание некоторых предметов, объединенных по какому-либо признаку (множество учащихся класса, множество букв алфавита, множество цифр десятичной нумерации, множество чисел первого десятка, множество натуральных чисел, множество точек на прямой, множество книг на полке и т.д.) без повторений.

Опр.1.2 Предметы, из которых состоит множество, называются его элементами (например, буква К – элемент множества букв русского алфавита).

«…Самое существенное в понятии множества – это акт объединения различных предметов в одно целое, именно в множество М, элементами которого (после акта объединения) будут данные предметы» [Лузин Н.Н. Теория функций действительного переменного. М. Учпедгиз, 1948].

Для названия множества иногда используют какое-либо одно слово, выступающее в роли синонима слова «множество» (зрители, стая, семья, фрукты).

Обозначают множества заглавными буквами латинского алфавита или символически с помощью фигурных скобок, в которых указываются его элементы. Сами элементы некоторого множества будем обозначать малыми латинскими буквами, если они не имеют специальных обозначений:

А; {а, b, c}; N={1,2,3,4,5,6,7,8, …}.

Принадлежность предмета некоторому множеству обозначают с помощью символа (в противном случае используется символ ).

Запись а А означает, что а есть элемент множества А.

Запись 4 {1,2,3} означает, что 4 не принадлежит множеству {1,2,3}.

Основными способами задания множества являются:

1) перечисление всех его элементов: А={а1, а2, а3, …, аn};

2) описание (указание характеристического свойства его элементов). Этот способ требует указания такого признака, который имеется у всех элементов данного множества и не свойственен элементам, не входящим в данное множество. Например, характеристическим свойством натуральных чисел является возможность их использования при счете каких-либо предметов. Говоря о множестве четных чисел, мы указываем характеристическое свойство его элементов: М={х N |х 2}, т.е. каждое число, принадлежащее этому множеству, делится на два.

Опр.1.3 Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными (одинаковыми). Пишут А=В.

Опр.1.4 Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом Ø.

Следует обратить внимание на то, что обиходное слово «много» и математический термин «множество» имеют различный смысл, хотя и звучат почти одинаково. Множество может состоять из небольшого количества элементов. Договоримся обозначать количество элементов в некотором множестве А через m (А). Например, если А={а, b, c}, то m (А)=3. Если N – множество всех натуральных чисел, то m (N) = ∞.