Вклад | Проект | Остаток | Прибыль из матрицы | Прибыль за шаг | Прибыль на шаге | |
S1 | Х2 | S2 | f (x2) | F3 | f+F | F2 |
Анализ результатов:
Максимальная прибыль равна 15 д.ед. Расположить денежные средства между проектами можно несколькими способами:
1) 1 проект – 0 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект – 60 д.ед., 4 проект – 40 д.ед.
2) 1 проект – 0 д.ед., 2 проект – 100 д.ед., 3 проект – 0 д.ед., 4 проект – 0 д.ед.
3) 1 проект – 20 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект – 60 д.ед., 4 проект – 20 д.ед.
4) 1 проект – 60 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект – 20 д.ед., 4 проект – 20 д.ед.
5) 1 проект – 60 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект – 0 д.ед., 4 проект – 40 д.ед.
зад ача о замене оборудования
С течением времени любое оборудование изнашивается физически и морально, поэтому на каком-то этапе его эксплуатация становится менее выгодной, нежели приобретение и использование нового оборудования. В связи с этим возникает задача определения наиболее подходящего момента замены оборудования, В качестве критерия оптимальности при замене оборудования принимают минимум ожидаемых затрат или максимум ожидаемой прибыли за какой-то период времени.
В начале планового периода N = 4 годам, имеется оборудование, возраст которого t = 2 года. Для каждого года планового периода известны
стоимость r(t) произведенной с использованием имеющегося оборудования
продукции и затраты v(t), связанные с его эксплуатацией. Эти характеристики зависят от возраста оборудования. Известны также остаточная стоимость оборудования s = 4 ден. ед., не зависящая от его возраста, и стоимость нового оборудования р = 13 ден, ед., не меняющаяся в рассматриваемом плановом периоде. Срок эксплуатации данного оборудования не более 6 лет.
t | |||||||
r(t) | |||||||
v(t) |
Требуется разработать оптимальную политику в отношении имеющегося оборудования, те. на начало каждого года планового периода установить, сохранить в этом году оборудование или продать его по остаточной стоимости s, или купить новое оборудование, чтобы ожидаемая прибыль за N лет достигла максимальной величины.
Решение:
Схема решения
Состояние системы (S) будем характеризовать возрастом оборудования t = 0, 1,.... Значение t = 0 соответствует новому оборудованию. Пусть хi - управление на i-м шаге, которое имеет два варианта - "сохранение" и "замена".
Математическая модель:
Математическая модель задачи:
Z = ΣFi(xi)→max
сохранить
xi - управление =
заменить
Экономический смысл переменных:
N - плановый период эксплуатации оборудования;
ZC - прибыль в случае сохранения оборудования;
ZЗ - прибыль в случае замены оборудования;
S0 - первоначальное состояние системы;
SHi - предполагаемый возраст оборудования в начале i-го периода, т.е. после того, как мы примем решение сохранить или заменить его;
Si - возраст в конце i-го периода;
r(t) - прибыль от эксплуатации;
u(t) - расходы на эксплуатацию;
s - остаточная стоимость оборудования;
p - стоимость нового оборудования;
t - возраст оборудования;
fi - доход на i-ом шаге;
Fi - максимальный доход на i-ом шаге.
Рассмотрим основное функциональное уравнение на последнем, N-м шаге: .
В этой и последующих формулах максимальная прибыль на очередном шаге определяется с учетом всех возможных состояний системы, в которых она может находиться сразу после принятия решения в начали данного года, поэтому целесообразно уравнение переписать в виде
.
Если при этом в начале года выбрано управление "сохранение", то прибыль выражается разностью , если же выбрано управление "замена", то прибыль можно записать в виде .
Максимальная прибыль определяется большим из двух приведенных выражений. Если прибыль в обоих случаях будет одинаковой, то целесообразно принять управление "сохранение", так как имеющееся оборудование хорошо освоено и с ним легче работать.
При произвольном шаге (i < N) основное функциональное уравнение принимает вид . Прибыль на i-м шаге по-прежнему определяется парой формул: , если выбрано управление "сохранение", и – в противо-положном случае.
Применим рассмотренный алгоритм к решению конкретной задачи. Начнем с последнего, четвертого года планового периода. Имеем:
- в случае "сохранения" оборудования и
- в случае его "замены".
Составляем первую таблицу, рассматривая все возможные начальные состояния оборудования, т.е. его возраст S3 = 1 – 6 лет.
S3 | x4 | S4H | Z4 | F4 |
Сохранение Замена | 11с | |||
Сохранение Замена | 10с | |||
Сохранение Замена | 9с | |||
Сохранение Замена | 8с | |||
Сохранение Замена | 6с | |||
Сохранение Замена | – 3з |
Анализ таблицы показывает, что заменять оборудование выгодно только в том случае, если его возраст уже равен 6 годам, т.е. по условиям оборудование нельзя использовать далее.
Переходим к анализу ситуации перед третьим годом исследуемого периода.
- в случае "сохранения" оборудования и
- в случае его "замены".
Теперь следует оптимизировать расходы за двухлетний период (последний и предпоследний годы). Оптимальную прибыль за четвертый год следует взять из первой таблицы. Подчеркнем, что - возраст оборудования в начале третьего года сразу после принятия решения о его сохранении или замене; - возраст оборудования к концу третьего года. Данные в колонку F4 переносятся из предыдущей таблицы в соответствии со значением параметра
S2 | X3 | S3H | Z3 | S3 | F4 | Z3+F4 | F3 |
Сохранение Замена | 21с | ||||||
Сохранение Замена | 19с | ||||||
Сохранение Замена | 17с | ||||||
Сохранение Замена | 14с | ||||||
Сохранение Замена | – 14з | ||||||
Сохранение Замена | – | – | – | – 14з |
.
Условная оптимизация на начало второго года приведена в следующей таблице:
S1 | X2 | S2H | Z2 | S2 | F3 | Z2+F3 | F2 |
Сохранение Замена | 30с | ||||||
Сохранение Замена | 27с | ||||||
Сохранение Замена | 24з | ||||||
Сохранение Замена | 24з | ||||||
Сохранение Замена | 24з | ||||||
Сохранение Замена | – | – | – | – 24з |
Последняя таблица завершает условную оптимизацию.
S0 | X1 | S1H | Z1 | S1 | F2 | Z1+F2 | F1 |
Сохранение Замена | 38с | ||||||
Сохранение Замена | 34з | ||||||
Сохранение Замена | 33з | ||||||
Сохранение Замена | 33з | ||||||
Сохранение Замена | 33з | ||||||
Сохранение Замена | – | – | – | – 33з |
С помощью таблиц условной оптимизации можно сформулировать оптимальную политику в отношении оборудования любого возраста не старше 6 лет в течение четырехлетнего периода. Для наглядности основные результаты, содержащиеся в последних столбцах четырех построенных таблиц оформим в виде сводной таблицы, которая называется матрицей максимальных прибылей, и выделим элементы, ниже которых расположены показатели суммарной прибыли, соответствующие выбору управления "замена". Элементы, расположенные выше линии, находятся в области "сохранения" оборудования.
Матрица максимальных прибылей.
t | Годы | |||
1-4 | 2-4 | 3-4 | ||
– | – | – | ||
t=2 | ||||
Сформулируем оптимальную политику в отношении оборудования, возраст которого 2 года. В таблице для t = 2 в первой колонке стоит суммарная прибыль 33 ден. ед. за четыре года, при этом выбор управления – "замена". К началу второго года возраст оборудования составит 3 года, поэтому в следующей колонке мы выбираем строку, соответствующую возрасту 3 года. Оптимальная прибыль за второй - четвертый годы -24 ден. ед., и мы находимся в области "замены" оборудования, следовательно, к началу третьего года оборудование будет иметь возраст 1 год. Прибыль за третий - четвертый годы для такого оборудования равна 21 деи. ед., за последний, четвертый год - 10 ден. ед.и находятся в области “сохранения”. Таким образом, рекомендуется замена оборудования в начале второго года.