2015-06-04
335
Пусть 
и 
- длины ребер параллелепипеда. Тогда его объем
.
Так как 
, то 
и 
.
Очевидно, что 
, 
, 
, 
.
Множество точек 
, удовлетворяющих этим требованиям, можно изобразить так (рис.5.1.):
Рис. 5.1.
Для нахождения точек экстремума приравняем к нулю частные похідні функции 
:
Отсюда
Итак, имеем 4 критические точки:
; 
; 
; 
Условию задачи удовлетворяет только первая точка 
.
Проверим выполнение в этой точке достаточного условия существования экстремума.
;
;
.
Следовательно, в точке 
существует экстремум, а именно максимум 
.
Зная 
и 
, найдем :
Значит, 
.
Итак, изо всех прямоугольных параллелепипедов с фиксированной диагональю максимальный объем имеет куб с ребром, равным 
.
