Решение. 1 Вычерчиваем схему нагружения (рисунок 1)

1 Вычерчиваем схему нагружения (рисунок 1). Определяем реакции опор и строим эпюры поперечной силы и изгибающего момента.

Направив реакции опор в точке B вверх и в точке E вниз (горизонтальная реакция Н_B заведомо равна нулю), составим уравнения моментов относительно опоры B

отсюда находим R_E:

Уравнение моментов относительно опоры E

отсюда находим V_B:

Для проверки составим уравнение проекций всех сил на ось y

подставляя значения, получим

Условие проверки выполняется, значит, проведенные выше вычисления верны.

2 Разбиваем балку на четыре силовых участка BC, CD, ED и AE; для каждого участка применяем метод сечений и составляем уравнения поперечной силы и изгибающего момента. Определяем характерные ординаты поперечной силы и изгибающего момента.

Рассмотрим участок BC:

Аналогично рассмотрим участок СD:

Аналогично рассмотрим участок AE:

Аналогично рассмотрим участок ED:

По полученным результатам строим эпюры Q и М (рисунок 1). Эпюра изгибающего момента построена на растянутом волокне.

3 Выполняем проектировочный расчет стальной балки из условия прочности по нормальным напряжениям при изгибе:

отсюда находим расчетный момент сопротивления:

где М_и_max – максимальный изгибающий момент, по эпюре моментовполучим

Тогда

По расчетному моменту сопротивления W_x выполняем подбор сечений стальной балки в следующих вариантах:

а) стальное двутавровое по ГОСТ 8239-72 (рисунок 2); по сортаменту выбираем двутавр № 16, для которого W_x = 109 см³; площадь сечения двутавра A _дв = 20,2 см², осевой момент инерции I_x = 873 см⁴, статический момент половины сечения S_x = 62,3 см³. Расчетный момент сопротивления меньше табличного значения, следовательно, недогрузка двутаврового сечения составляет

Рисунок 2 – Двутавровое сечение

б ) стальное прямоугольное при (рисунок 3); на основании зависимости

получим сторону основания прямоугольника

или, после подстановки числовых значений

Принимаем b кратное двум, т.е. b = 52 мм, тогда h = 2×52=104 мм.

Площадь прямоугольного сечения

Рисунок 3 – Прямоугольное сечение

в) стальное круглое (рисунок 4); на основании формулы

получим диаметр

Принимаем, округляя по стандартному ряду, d = 100 мм.

Тогда площадь круглого сечения

Рисунок 4 – Круглое сечение

Выполняем оценку экономичности сечений стальной балки, сравнивая их веса по соответствующим величинам площадей:

Таким образом, заключаем, что самым целесообразным является двутавровое сечение;

г) чугунное трапециевидное (рисунок 5); предварительно найдем некоторые геометрические характеристики сечения.

Определим площадь сечения:

Рисунок 5 – Сечение чугунной балки

Координата () - центра тяжести сечения

Подставляя значения, получим

Осевой момент инерции сечения

подставляя числовые значения, получим

Осевые моменты сопротивления для верхних и нижних точек сечения:

По этим значениям W_x вычислим, во сколько раз напряжения в верхних волокнах больше, чем в нижних.

Подставляя значения, получим

Рационально расположим поперечное сечение балки. По эпюре М _изг (рисунок 1) видим, что в опасном сечении на опоре Е (где

) растягиваются нижние волокна. Учитывая, что чугун – хрупкий материал, и хуже сопротивляется растяжению, чем сжатию, расположим сечение так, чтобы в нем растягивающие напряжения имели меньшую величину, чем сжимающие, т.е. следующим образом (рисунок 6):

Рисунок 6 - Расположение сечения рациональным образом

Проведем подбор сечения их условия прочности по растягивающим напряжениям.

или

отсюда

Подставляя числовые значения, получим

По полученному значению проверим сечение на прочность по сжимающим напряжениям:

Подставляя значения, получим

что меньше, чем , т.е. прочность балки обеспечивается.

Построим все сечения в одном масштабе с эпюрами нормальных напряжений в опасном сечении балки (рисунок 7), найдя их по формуле

Для стального двутаврового сечения получим:

при площади

Для стального прямоугольного сечения

подставляя числовые значения, имеем

площадь сечения

Для стального круглого сечения

подставляя числовые значения, имеем

площадь сечения

Для трапециевидного сечения имеем

подставляя числовые значения, получим

для верхних волокон сечения напряжения, были определены раньше

а площадь сечения найдется как

или

Анализируя эпюры нормальных напряжений (рисунок 7), видим, что все сечения удовлетворяют условию прочности, но наиболее экономичным является двутавровое сечение, имеющее меньший погонный вес; на что указывает следующее соотношение площадей:

4 Для балки двутаврового профиля проведем полную проверку прочности, выбрав наиболее опасное сечение, где одновременно возникает большой изгибающий момент и поперечная сила:

Для полной проверки прочности построим эпюры нормальных (), касательных () и главных (, ) напряжений, используя следующие формулы:

Результаты расчета приводим в табличной форме (таблица 1).

Для двутаврового сечения выбираем из таблицы сортамента

Знак касательных напряжений определяется по знаку , т.е. будет положительным.

Таблица 1 – Результаты расчета напряжений в точках опасного сечения двутавровой балки

Точки	s_i, МПа	y_i, см	S_i^отс, см³	А_i^отс, см²	Y_Ci, см	b_(Y)i, см	t_i, МПа	s₁_i, МПа	s₃_i, МПа
	-138,0	-8				8,1			-138
	-124.1	-7,22	48,73	6,32	7,71	8,1	0,98	0,002	-126,1
2^I	0,5	15,86	2,0	-122,3
			62,3	10,1	6,17	0,5	20,28	20,28	-20,28
4^I	124,1	7,22	48,73	6,32	7,71	0,5	15,86	126,1	-2,0
	8,1	0,98	122,3	-0,002
	138,0					8,1

По полученным значениям строим эпюры нормальных касательных и главных напряжений в опасном сечении балки (рисунок 8).

Рисунок 8 – Эпюры напряжений в опасном сечении балки

Для опасной точки 2’, где , производим проверку прочности по четвертой теории прочности:

Подставляя числовые значения, получим

что меньше , т.е. условие прочности выполняется.

Для точки 4’ сечения графически найдем величины главных напряжений при помощи круга Мора (рисунок 9).

Имеем

;

Найдя полюс П, определим положение главных площадок и изобразим их на выделенном элементе (рисунок 10).

Сравнивая значения и , найденные аналитически и графически, видим, что они практически равны:

5 Пользуясь универсальным уравнением упругой линии балки (УУУЛБ) метода начальных параметров, определим прогиб в сечении «А» и угол поворота в сечении «В» (рисунок 11).