Разбей выражения на две группы» 36:3, 72:6, 48:4, 70:5 , 88:8

Т.к. в этом задании основание для клас-ции не указано, то дети могу предложить разные сп-бы разбиения на 2 группы: 1)по значению выражений (12,12,12,14,11)-значение выраж.12 и значение выраж. не 12; 2) Делимое круглое число и не круглое. Но, самое главное, если дети догадаются разбить выражения по хар-ру вычислит. приема: делимое представить либо суммой разрядных слагаемых, либо суммой удобных слагаемых: Разр.: 36:3, 48:4, 88:8; Удобн.: 72:6, 70:5.

2) "Раздели круги на две группы. По какому признаку это можно сделать? (По цвету.)".

Материал: несколько кругов одинакового размера, но разного цвета (два цвета).

3) «Разделите фигуры на две группы. По какому признаку это можно сделать? (По форме.)".

Материал: набор из фигур разной формы.

Билет 4 Понятие разбиения множеств на классы. Примеры разбиения множеств на два (три, четыре и т.д.) подмножества. Примеры заданий на классификацию из начального курса математики.

Классификация-разбиение объектов по классам на основании сходств объектов внутри класса и их отличия от объектов других классов.

(Считают, что множество Х разбито на классы Х1, Х2, Х3,…Хn, где Х1, Х2, Х3,…Хn – подмножества множества Х, если выполняются 2 условия:

1. подмножества Х1, Х2, Х3,…Хn попарно не пересекаются

2. объединение подмножеств Х1, Х2…..равно множеству Х

Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, считается, что разбиение на классы не произошло).

Х-треугольники\Х1-тупоугольные\Х2-прямоугольные\Х3-остроугольные

Примеч)Утверждение (обратное) Если какое-либо отношение, заданное на множестве X порождает разбиение этого множества на классы, то оно является отношением эквивалентности.

Примеры заданий Какие из фигур на рисунке имеют одинаковую площадь? [На рисунке фигуры разбиты на клеточки; Р1=9, Р2=9, Р3=6, Р4=9, Р5=12, Р6=4, Р7=6, Р8=12. Отношение X: «иметь одинаковую площадь». Х={(Р1; Р2); (Р1;Р4); (Р2; Р1); (Р2; Р4); (Р1; Р1); (Р2; Р2); (РЗ; Р7); (РЗ; РЗ); (Р4; Р1); (Р4; Р2); (Р4;Р4); (Р5;Р5); (Р5; Р8); (Р6; Р6); (Р7; Р7); (Р7; РЗ); (Р8; Р8); (Р8; Р5)}]

5 билет – математические понятия

Математические понятия-понятия об идеальных объектах. Математика изучает окруж.мир, но изучает лишь отдельные его стороны, и предметы становятся математическими объектами.. Матем.объекты-результат выделения из предметов и явлений количественных и пространственных свойств и отношений и абстрагирование их от всех других св-в, след, матем.объекты реально не существуют, а существуют лишь в сознании людей, в тех знаках и символах, которые образуют математический язык. Любой матем.объект обладает существенными и несущественными свойствами.

Существенные свойства-св-ва, которые, присуще объекту и без которых он не может существовать.

Несущественные св-ва-св-ва, отсутствие которых не влияет на существование объектов.

Любое понятие хар-ся содержанием и объемом. Содержание- множество всех сущ-ых св-в объекта (S)

Объем-множество всех объектов, обозначенных одним термином(V)

Понятия находятся в отношении рода и вида тогда и только тогда, когда объем одно понятие является подмножеством объема другого понятия. Понятие парралелограм родовое по отношению к понятию ромб. Определение-предложение, с помощью которого рассказывается содержание понятия или устанавливается значение терминов. Неявные: остенсивные и контекстуальные. Явные имеют форму равенства

Определение понятий родовое понятие+видовое св-во

Уравнение-равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти.

Структура определения понятия через род и видовое отличие. Требования к таким определениям. Использование определений через род и видовое отличие при решении задач на распознавание.

По способу выявления содержания определения делятся на: явные — раскрывают существенные признаки предмета; неявные — определение через отношение предмета к своей противоположности.

Наиболее распространенным видом явных определений является определение через род и видовое отличие и его разновидность — генетическое определение.

Определение через род и видовое отличие состоит из двух понятий: определяемого и определяющего. Включает два приема: 1) подведение определяемого понятия под более широкое по объему родовое понятие (род) и 2) указание видового отличия, то есть признака, отличающего определяемый предмет (вид этого рода) от других видов, входящих в данный род. Чек — ценная бумага, содержащая ничем не обусловленное письменное распоряжение чекодателя банку уплатить держателю чека указанную в нем сумму. Чек — определяемое понятие (А) — вид родового понятия «ценная бумага» (В); остальная часть определения — видовое отличие (с), отличает чек от векселя, облигации и т.д. А=Вс или Dfd ≡ Dfn (≡ знак эквивалентности).

Республика (определяемое понятие А) — форма правления (род В), при которой высшая государственная власть предоставлена выборному органу, избираемому на определенный срок (видовое отличие с).

Обычно указывают ближайший род, который содержит больше признаков общих с признаками определяемого понятия — иногда «определение через ближайший род и видовое отличие».

Генетическое определение — указывает на происхождение предмета, на способ его образования (шар — геометрическое тело, образованное вращением круг вокруг одного из своих диаметров).

Правила определения:

1. Определение должно быть соразмерным — объем определяемого понятия должен быть равен объему определяющего (А=Вс или Dfd ≡ Dfn). Если объем определяющего понятия шире объема определяемого — ошибка слишком широкого определения (A<Bc). Если объем определяющего понятия уже объема определяемого — ошибка слишком узкого определения (A>Bc).

2. Определение не должно заключать в себе круга — при определении одного понятия нельзя прибегать к другому понятию, определяемому при помощи первого (круг) (Вращение — движение вокруг оси; ось — прямая, вокруг которой происходит вращение). Разновидность круга в определении — тавтология — идеалист — человек идеалистических убеждений — определяющее понятие — повторение определяемого.

3. Определение должно быть ясным - должно указывать на известные признаки, не нуждающиеся в определении и не содержащие двусмысленности. Если понятие определяется через другое понятие, признаки которого неизвестны - ошибка определения неизвестного через неизвестное (определение х через у) — социализм — первая стадия коммунизма.

Определение не должно быть отрицательным — отрицательно определение указывает, чем не является предмет, не указывая, чем он является (Сравнение — не доказательство). На определение отрицательных понятий это правило не распространяется (Безбожник — человек, не признающий существование Бога).

Решение задач на распознавание принадлежности объекта объему данного понятия основывается, как правило, на определении этого понятия через род и видовое отличие. Если определение содержит одно видовое свойство, то распознавание проводится по алгоритму:

1. Проверяем, принадлежит ли объект объему родового понятия.

2. Если окажется, что не принадлежит, то проверку прекращаем и делаем вывод, что объект не принадлежит объему понятия.

3. Если объект принадлежит объему родового понятия, то продолжаем проверку и выясняем, обладает ли объект видовым свойством.

4. Если объект обладает этим свойством, то делаем вывод о его принадлежности к объему видового понятия.

5. Если окажется, что объект этим свойством не обладает, то делаем вывод, что объект не принадлежит объему видового понятия.

Рассмотрим, например, задание №8 с.8 из учебника М. И. Моро и др. «Математика 3 класс». В нем надо найти (распознать) уравнения среди следующих записей и решить их:

1) 34+х; 2)78-25=53; 3)х+3>2;
4)16+d=29; 5)х+6=54; 6)х-19. [3, с.8]

Воспользуемся определением уравнения, которое чаще всего рассматривается в начальном обучении математике: «Уравнением называется равенство, в котором есть неизвестное число, обозначенное буквой». В нем родовым для уравнения является понятие «равенство», а видовым отличием – «содержать неизвестное число, обозначенное буквой». Используя описанный выше алгоритм, получаем:
Запись 1) не является равенством. Следовательно, она не является уравнением.
Запись 2) - это равенство, но в нем нет неизвестного числа. Следовательно, она не является уравнением.
Запись 3) не является равенством. Следовательно, она не является уравнением.
Запись 4) - это равенство, которое содержит неизвестное число, обозначенное буквой d. Следовательно, это уравнение.
Запись 5) - это равенство, в котором есть неизвестное число, обозначенное буквой х. Следовательно, это уравнение.
Запись 6) не является равенством. Следовательно, она не является уравнением.

Напомним, что так решают задачи на распознавание, если в определении имеется одно видовое свойство. Если же видовое отличие состоит из нескольких свойств, находящихся в конъюнктивной связи, объект принадлежит объему данного понятия, если он обладает всеми свойствами, включенными в видовое отличие. Если же связь между свойствами видового отличия дизъюнктивная, то объект принадлежит объему данного понятия, когда обладает хотя бы одним из свойств.

Билет 7. Остенсивные и контекстуальные определения понятий, их отличие от определений через род и видовое отличие. Примеры остенсивных и контекстуальных определений из начального курса математики.

При изучении понятий в нач. школе чаще всего используют неявные определения. Отличаются от определений через род и видовое отличие тем, что в их структуре нельзя выделить определяемое и определяющее. Среди них различают остенсивные и контекстуальные. И те, и другие характеризуются некоторой незавершенностью. Они только связывают термины с определяемыми объектами. Поэтому после контекстуального и остенсивного определения понятия необходимо дальнейшее изучение свойств так определенных объектов.

Остенсивные определения – раскрывают существенные признаки предметов путем их указания, показа.

Используются для введения терминов путем демонстрации объектов, которые этими терминами обозначают.

Примеры: Есть числа (4), есть знаки (<>). Это луч. – уч. Истоминой, 1кл, стр. 68, 62.

Контекстуальные определения – содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретной ситуации, описывающий смысл вводимого понятия.

Посредством контекста устанавливается связь определяемого понятия с другими, известными, и тем самым косвенно раскрывается его содержание.

Пример: Учащимся предлагают различные ситуации, в которых нужно найти неизвестный компонент. Например: задумали неизвестное число, увеличили его на 15 и получили 27, или [ ]: 2=45. Вставить число в окошко, чтобы запись была верной. Как проверить, правильно ли найдено неизвестное число? В математике принято неизвестное число обозначать строчными буквами латинского алфавита- такая запись называется - уравнение. – уч. Истоминой, 4 кл. стр.183 «уравнение». Тот же пример в учебнике Моро, 2 кл. для трехлетней нач.школы.

8 билет. Элементарные и составные высказывания. Правила определения значений истинности составных высказываний. Примеры элементарных и составных высказываний из начального курса математики.

Относительно понятий и отношений между ними можно высказывать различные суждения. Языковой формой суждений являются повествовательные предложения. Вопросительные, восклицательные предложения и обращения высказываниями НЕ являются!!!

Предложения, используемые в математике, могут быть записаны как на естественном (русском: «Некоторые числа делятся на 3») языке, так и на математическом («х+5=8»), с использованием символов.

Высказыванием называют предложение, относительно которого имеет смысл вопрос: истинно оно или ложно.

«Истина» и «ложь» называются значениями истинности высказывания. Считается, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.

В логике считают, что из двух данных предложений можно образовать новые предложения, используя для этого союзы «и», «или», «если…, то…», «тогда и только тогда, когда», частицы «не», слова «неверно, что». Их называют логическими связками. Предложения, образованные из других предложений с помощью логических связок, называют составными. Предложения, не являющиеся составными, называют элементарными.

Итак, значение истинности элементарного высказывания определяют, исходя из его содержания с опорой на известные знания. Чтобы определить значение истинности составного высказывания, надо знать смысл логических связок, с помощью которых оно образовано из элементарных, и уметь выявлять логическую структуру высказывания.

Для выявления логической структуры составного предложения нужно установить:

1) из каких элементарных предложений образовано данное составное предложение.

2) С помощью каких логических связок оно образовано.

Примеры:

Элементарных высказываний: Некоторые числа делятся на 3», «число 12-четное», «2+5 больше 8», «х+5=8».

Составных высказываний: «число 28 четное И делится на 7», «число х меньше ИЛИ равно 8», «число 14 НЕ делится на 4», «число 28 делится на 7 и на 9».

9. Высказывательная форма, ее область определения и множество истинности. Составные высказывательные формы, правила определения их множеств истинности. Примеры высказывательных форм из начального курса математики.

Высказыванием называется такое предположение, относительно которого имеет смысл задать вопрос, истинно оно или ложно.

Высказывательная форма – предположение, содержащее одно или несколько переменных, которое обращается высказыванием при подстановке в него вместо переменного или переменных конкретных значений. Это предложение, относительно которого не имеет смысл задавать вопрос истинно оно или ложно.