Статический расчет арки

Схемы нагрузок показаны на рис. 9.

Расчет арки производим для следующих сочетаний нагрузок 1) постоянной и снеговой, равномерно распределенной по всему пролету; 2) постоянной по всему пролету и снеговой, равномерно распределенной на половине пролета, 3) постоянной по всему пролету и снеговой, распределенной по треугольнику на половине пролета (СНиП 2.01.07-85, п. 5.3).

Определяем усилия в арке при разных схемах нагружения от нагрузки 10 кН/м:

а) от равномерно распределенной нагрузки по всему пролету:

вертикальные опорные реакции

V_А = V_В = q·L/2 = 10·60/2 = 300 кН;

горизонтальный распор

H = q·L² /(8f) = 10·60²/(8×11) = 410 кН;

Рис. 9. Схема нагрузок от собственного веса и снега, действующих на арку

б) от равномерно распределенной нагрузки на полупролете (слева):

вертикальные опорные реакции:

V_А = 10·L/8 = 3×60/8 = 75 кН;

V_В = 10·L/8 = 60/8 = 75 кН;

горизонтальный распор

H = q·L²/(16f) = 10·60²/(16×11) = 205 кН;

в) от распределенной по треугольнику нагрузки наполовине пролета (слева):

вертикальные опорные реакции

V_А = 5·q·L/24 = 5×10·60/24 = 125 кН;

V_В = q·L/24 = 10·60/24 = 25 кН;

горизонтальный распор

H = q·L²/(48f) = 10·60²/(48×11) = 68,2 кН.

Значения M_x, Q_x и N_x для загружения (п. а) и на участке 0 ≤ x ≤ L /2 (п. б) вычислены по формулам:

M_x = V_А×x - x²/2 - H×y;

Q_x = -Hsin φ + (V_А - x)cos φ;

N_x = Hcos φ + (V_А - x)sin φ.

На участке L/2 ≤ x ≤ L - по формулам:

M_x = V_В(L - x) - Hy;

Q_x = Hsin φ - V_Вcos φ;

N_x = -Hcos φ - V_Вsin φ.

Для загружения (по п. в) вычисления проводились по формулам

на участке 0 ≤ x ≤ L/2:

M_x = V_А[x - 3,2(L - x)x²/L²] - Hy;

Q_x = V_А[1 - 4,8(L - x)x²/L²]cos φ - Hsin φ;

N_x = Hcos φ + V_А[1 - 4,8(L - x)x²/L²]sin φ;

на участке L/2 ≤ x ≤ L:

M_x = V_В(L - x) - Hy;

Q_x = Hsin φ - V_Вcos φ;

N_x = -H cos φ - V_Вsin φ.

На рис. 10 даны эпюры изгибающих моментов от нагрузок по пп. а, б, в и от сочетания нагрузок по схемам 1, 2 и 3. На рис. 11 даны эпюры нормальных и поперечных сил от сочетания нагрузок по схемам 1, 2 и 3. Вертикальные опорные реакции V_А и V_В и распор H для различных схем загружения соответственно равны 384, 384, 523 кН (схема 1); 341, 254, 406 кН (схема 2) и 433, 255, 408 кН (схема 3).

Как видно из эпюр, расчетной является схема загружения 3 как по положительным, так и по отрицательным моментам. Максимальный положительный момент имеется в сечениях с абсциссой x = 10 м, а отрицательный - с абсциссой x = 50 м.

Расчетные усилия

M₁₀ = 343 кН×м; N₁₀ = -461 кН; M₅₀ = -477 кН×м; M₅₀ = -449 кН.

Рис. 10. Эпюры изгибающих моментов в арке от расчетных нагрузок и от их сочетания

а) постоянной (собственный вес арки); б) снеговой, равномерно распределенной по всему пролету; в) снеговой, равномерно распределенной на половине пролета; г) снеговой, распределенной по треугольнику на половине пролета; 1 - постоянной (а) и снеговой (б); 2 - постоянной (а) и снеговой (в); 3 - постоянной (а) и снеговой (г)

Рис. 11. Эпюры нормальных (N) и поперечных (Q) сил в арке от сочетания расчетных нагрузок

1 - постоянной (а) и снеговой (б); 2 - постоянной (а) и снеговой (в); 3 - постоянной (а) и снеговой (г)