Высказывания и логические операции над ними

Понятие высказывания является основным неопределяемым понятием математической логики. Под высказыванием понимают любое повествовательное предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно в данных условиях места и времени. Логическое значение высказывания «истина» («ложь») обозначается или буквой и, (л) или цифрой 1, (0). Высказывания обычно обозначают малыми латинскими буквами.

Отрицанием высказывания а называется высказывание ù а (ā), которое истинно, если а ложно, и ложно, если а истинно. Высказывание ù а читается так: «Не а». Таблица истинности для а имеет вид:

Конъюнкцией высказываний a, b называется высказывание а Ù b (а&b), которое истинно, если а и b истинны и ложно, если хотя бы одно из них ложно. Высказывание а Ù b читается: «а и b».

Дизъюнкцией высказываний а, b называется высказывание a Ú b, которое истинно, если хотя бы одно из высказываний а или b истинно, и ложно, если оба они ложны. Читается: «a или b».

Импликацией высказываний a, b называется высказывание а → b, которое ложно, если а истинно и b ложно, и истинно во всех остальных случаях. Читается: «Если а, то b».

Эквивалентностью (или эквиваленцией) высказываний а, b называется высказывание а ↔ b (a ~ b), которое истинно, если оба высказывания а и b одновременно истинны или ложны, и ложно во всех остальных случаях. Читается: «а тогда и только тогда, когда b».

Таблица истинности для этих логических операций такова:

Все высказывания можно разделить на простые (или элементарные) и составные (или сложные).

Всякое сложное высказывание, которое может быть получено из элементарных высказываний посредством применения выше определенных пяти логических операций, называется формулой алгебры логики.

Формулы алгебры логики будем обозначать большими латинскими буквами. Логические значения формулы при различных комбинациях значений входящих в нее высказываний можно описать посредством таблицы, которая называется таблицей истинности формулы.

Формула А, всегда истинная, называется тождественно истинной формулой или тавтологией и записывается А = 1. Формула В, всегда ложная, называется тождественно ложной формулой и записывается В = 0.

Пример 1. Пусть a – высказывание «Студент Иванов изучает английский язык», b – высказывание «Студент Иванов успевает по математической логике». Дать словесную формулировку высказываний:

1) а Ù ù b; 2) а → b; 3) ù b ↔ ù а.

Решение. а) «Студент Иванов изучает английский язык и не успевает по математической логике»; б) «Если студент Иванов изучает английский язык, то он успевает по математической логике»; в) «Студент Иванов не успевает по математической логике тогда и только тогда, когда он не изучает английский язык».