Задачи для самостоятельного решения. 1. С помощью функции отобразить на плоскость прямые x = 2 и y = 1

1. С помощью функции отобразить на плоскость прямые x = 2 и y = 1.

Ответ: , .)

2. Найти образы точек А (1,1) и В (0,–2) при отображении .

(Ответ: .)

3. Найти образ линии y = x при отображении . (Ответ: .)

4. Найти образ оси (Оy) при отображении . (Ответ: .)

5. Найти образ окружности и прямой х = 1 при отображении .

6. Найти дробно-линейное отображение, переводящее точки i, 1, i +1 в точки 2 i, 0, i.

Вопросы для самопроверки к главе 2

1. Дать определение функции комплексного переменного.
2. Какое отображение называется однозначным, какое многозначным?
3. Какие области называются односвязными, какие многосвязными?
4. Определить понятие окрестности точки.
5. Дать определение предела ФКП.
6. Какая функция называется непрерывной в точке (в области)?
7. Сформулировать необходимое и достаточное условие непрерывности ФКП.
8. Перечислить основные элементарные функции КП.
9. Дать определение логарифмической функции. Объяснить, почему она многозначная.
10. Какая функция называется главной ветвью логарифма?
11. Дать определения обратных тригонометрических и обратных гиперболических функций.
12. Дать определение производной ФКП.
13. Сформулировать условия дифференцируемости функции. Доказать необходимое условие дифференцируемости функции в точке.
14. Сформулировать и доказать теорему о непрерывности дифференцируемой функции.
15. Сформулировать условия КРЭДа. Доказать теорему. Записать формулы для нахождения производной.
16. Сформулировать правила дифференцирования ФКП.
17. Какая функция называется аналитической в области?
18. Дать определения правильных и особых точек.
19. Сформулировать свойства аналитической функции.
20. Какая функция называется гармонической?
21. Какие функции называются сопряженными гармоническими функциями?
22. Сформулировать теорему о нахождении сопряженной гармонической функции.
23. Дать определение регулярного отображения. Сформулировать его свойства.
24. Какое отображение называется конформным?
25. Каков геометрический смысл аргумента и модуля производной?
26. Сформулировать критерий конформности отображения.
27. Перечислить, из наложения каких преобразований состоит линейное преобразование, дробно-линейное преобразование.
28. Записать формулу для нахождения дробно-линейной функции с помощью образа трех точек.