Теоретическое обоснование. Лабораторная работа 3. Представление чисел

Лабораторная работа 3. Представление чисел

В позиционных системах счисления

Теоретическое обоснование

Совокупность приемов наименования и записи чисел называется системой счисления. Счисление представляет собой частный случай кодирования, где слово, записанное с использованием определенного алфавита и по определенным правилам, называется кодом.

Если значение цифры или символа зависит от позиции в ряду цифр или символов изображающих число, то такая система счисления называется позиционной,в противном случае - непозиционной системой.

В любой системе счисления выбирается алфавит, представляющий собой совокупность некоторых символов (цифр или знаков), с помощью которого можно представить любое число. Если алфавит состоит из двух цифр 0 и 1, то система двоичная. В десятичной системе алфавит состоит из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, …, 9. В восьмеричной - из восьми: 0, 1, 2, 3, …,7. В шестнадцатеричной - используется десять цифр 0, 1, 2, 3, …, 9 и буквы латинского алфавита A (обозначает цифру 10), B (11), C(12), D(13), E(14), F(15). Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления. Место для цифры в числе называется разрядом, а количество цифр в числе - разрядностью числа. Крайняя слева цифра называется цифрой старшего разряда, а крайняя справа - младшего разряда.

Алгоритм перевода из 10-й системы в Р-ю (Р-целое, положительное число):

1) Целая и дробная части числа переводятся отдельно.

2) Целая часть числа последовательно делится нацело на величину Р и остатки от деления записываются, начиная с последнего как результат.

3) Дробная часть числа последовательно умножается на Р и целые значения записываются, начиная с первого как результат. Умножение выполняется до получения в дробной части 0 или с указанной точностью (по умолчанию – 6 знаков после запятой).

Пример 1. Перевести число Х=165,4₁₀ в 2-ю, 8-ю, 16-ю системы счисления.

Перевод целой и дробной части Х в 2-ю систему счисления:

-164							*	0,4	*	0,8	*	0,6	*	0,2	*	0,4	*	0,8
	-82
								0,8		1,6		1,2		0,4		0,8		1,6
			-20
				-10
					-4
						-2

Число Х в 2-ной системе счисления: Х= 165,4₁₀ =10100101,011001₂

Аналогично выполняется перевод в 8-ю и 16-ю системы.

-160
	-16

*	0,4	*	0,2	*	0,6	*	0,8	*	0,4	*	0,2
	3,2		1,6		4,8		6,4		3,2		1,6

Число Х в 8-ной системе счисления: Х = 165,4₁₀ = 245,314631₈

						*	0,4	*	0,4
-160		это	А
							6,4		6,6

Число Х в 16-ной системе счисления: Х = 165,4₁₀ = А5,666…₁₆=А5,(6)₁₆

Перевод из Р-й системы в 10-ю (Р - целое, положительное число):

Любое число Х в позиционной системе счисления P можно представить в виде ряда:

где Х_Р – запись числа в системе счисления с основанием Р; х_i - целое положительное число, меньше Р; n – число разрядов в целой части числа;

m – число разрядов в дробной части числа.

Такая схема называется схемой Горнера.

Алгоритм перевода из Р-й системы в 10-ю:

1) От запятой вправо и влево нумеруются разряды чисел.

2) Каждая цифра числа х_i умножается на основание системы Р в степени номера разряда, результаты складываются.

Пример 2. Полученныев примере 1 числа перевести в 10-ю систему.

Для проверки полученного результата обратным переводом нужно воспользоваться схемой Горнера. Перевод из 2-й в 10-ю систему:

							1,						12	=1*27 + 0*26+ 1*25 + 0*24 + 0*23 +
								-1	-2	-3	-4	-5	-6
+1*22 +0*21 + 1*20 +0*2-1 +1*2-2 +1*2-3 +0*2-4 +0*2-5+1*2-6≈165,410

Из 8-й системы в 10-ю:

		5,						12	=2*82 + 4*81 +5*80+3*8-1 +1*8-2 +4*8-3+
			-1	-2	-3	-4	-5	-6	+6*8-4 +3*8-5+1*8-6≈165,410

Из 16-й системы в 10-ю:

А	5,	62					62	=10*161 +5*160+6*16-1 +6*16-2 +6*8-3+
		-1	-2	-3	-4	-5	-6	+6*8-4 +6*8-5+6*8-6≈165,410

Задания:

1) Переведите числа 101,8 и 200,6 в 2-ю, 8-ю, 16-ю системы с точностью до 3-х знаков после запятой. Полученные результаты переведите в 10-ю систему.

2) Среди чисел 10001100₂, 221₈, 96₁₆ сколько меньше десятичного числа 135₁₀ ?