Примерное соответствие между количествами цифр после точки в разных ПСС

Количество цифр в 10-ой ПСС	Количество цифр в другой ПСС

В среднем на одну десятичную цифру приходится 3.4 цифры в двоичной ПСС и 0.6 цифр в шестнадцатеричной ПСС.

Надо помнить, что при остановке вычислений по формулам (16) вычислять необходимо на один разряд больше, чем требуется, чтобы правильно выполнить округление в последнем разряде.

Двоичное округление: если отбрасываемый разряд равен 1, то к последнему оставляемому разряду добавляем единицу.

Пример 1. Перевести число х = 0.2₁₀ в двоичную ПСС. Для начала оценим количества двоичных разрядов, которые необходимо оставить после точки. Согласно таблице необходимо получить 3 двоичные цифры после точки. С целью правильного округления необходимо будет вычислить на один разряд больше, то есть четыре двоичных разряда. Теперь, применяя последовательно формулы (16), получим:

0. | 2

0 | 4 (0.2 ∙ 2 = 0 + 0.4 => q_-1 = 0)

0 | 8 (0.4 ∙ 2 = 0 + 0.8 => q_{- 2} = 0)

1 | 6 (0.8 ∙ 2 = 1 + 0.6 => q_-3 = 1)

1 | 2 (0.6 ∙ 2 = 1 + 0.2 => q_-3 = 1) и здесь можно остановиться.

В этой записи горизонтальной чертой мы отделили исходную дробь от процесса преобразования; вертикальной чертой отделены целая и дробная часть результата умножения только дробной части на новое основание – 2; в скобках показан процесс умножения. Таким образом, представлением точного числа 0.2₁₀ в двоичной ПСС является двоичная дробь (с учётом округления третьего двоичного разряда):

0.2₁₀ ≈ 0.01₂.

Пример 2. Получить для десятичного числа 0.54₁₀ его двоичное представление. Сразу оценим количество двоичных разрядов, чтобы получить требуемую точность изображения числа в двоичной ПСС. Согласно таблице необходимо получить 7 двоичных цифр после точки. С целью правильного округления необходимо будет вычислить на один разряд больше, то есть 8 двоичных разрядов.

Действуя по формулам (16), получим:

0.|54

1 | 08 (0.54∙2 = 1 + 0.08 => q_-1 = 1)

0 | 16 (0.08∙2 = 0 + 0.16 => q_-2 = 0)

0 | 32 (0.16∙2 = 0 + 0.32 => q_-3 = 0)

0 | 64 (0.32∙2 = 0 + 0.32 => q_-4 = 0)

1 | 28 (0.64∙2 = 1 + 1.28 => q_-5 = 1)

0 | 56 (0.28∙2 = 0 + 0.56 => q_-6 = 0)

1 | 12 (0.56∙2 = 1 + 0.12 => q_-7 = 1)

0 | 24 (0.12∙2 = 0 + 0.24 => q_-8 = 0) и здесь можно остановиться.

В итоге, с точностью до 7 знаков, имеем: 0.54₁₀ ≈ 0.1000101₂.

ПРИМЕРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО ЧИСЛА

Пример 1. Дано число 11001.1011₂. Требуется представить его в десятичной ПСС. Согласно (4) можно записать:

11001.1011₂ =1∙2⁴ + 1∙2³ + 0∙2² + 0∙2¹ + 1∙2⁰ +1∙2^-1 + 0∙2^-2 + 1∙2^-3 + 1∙2^-4 =

= 16 + 8 + 1+ 0.5 + 0.125 + 0.0625 = 25.6875

Пример 2. Дано число 51.398₁₀ . Получить его двоичное представление.

Будем отдельно выполнять преобразование целой и дробной части числа по правилам изложенным в предыдущих пунктах по формулам (13) и (16). Так, чтобы получить требуемую точность двоичного изображения необходимо получить 11 цифр в дробной части, а с учётом округления – 12 цифр.