Решение. Расчет статически неопределимой рамы

Расчет статически неопределимой рамы

Для заданной стальной ([σ] = 160 МПа, E = 2·10⁵ МПа) рамы (рис.1,а) требуется:

1) определить степень статической неопределимости;

2) выбрать основную систему и составить уравнение метода сил;

3) построить эпюры изгибающих моментов в основной системе от заданной нагрузки и единичных неизвестных;

4) вычислить коэффициенты канонических уравнений;

5) найти неизвестные силы;

6) построить окончательные эпюры продольных и поперечных сил и изгибающих моментов;

7) сделать проверку правильности раскрытия статической неопределимости;

8) подобрать двутавровое поперечное сечение рамы, проверить его прочность в опасном сечении.

Решение

1) Определение степени статической неопределимости. Степень статической неопределимости определяется по формуле: n = 3K + С₀ – Ш – 3,

где K = 0 - количество замкнутых контуров, С₀ = 5 – количество опорных связей, Ш = 0 – количество простых (одинарных) шарниров, 3 – число уравнений статики для плоской системы сил. n = 2. Система дважды статически неопределима.

2) Выбор основной системы и составление уравнения метода сил. Основная система представляет собой статически определимую и геометрически неизменяемую систему, полученную из заданной путем отбрасывания "лишних" связей (рис.1,б).

Приложив к принятой основной системе заданные нагрузки и неизвестные силы Х₁ и Х₂, получим эквивалентную систему (рис.1,в) для которой должны быть составлены канонические уравнения метода сил:

Смысл этих уравнений: перемещение по направлению силы Х₁ (Х₂) от действия сил Х₁, Х₂ и нагрузки равно нулю.

3) Построение эпюры изгибающих моментов в основной системе от заданной нагрузки и единичных неизвестных.

Приложим к основной системе только заданные нагрузки и определим опорные реакции (рис.1,г):

Σ M_A = 0 R_B·3 – q·4·4 = 0, откуда R_B = 16·q/3 = 106,67 кН.

Σ Х = 0 Н_А + Р + R_B = 0, откуда Н_А = -Р – R_B = -136,67 кН.

Σ Y = 0 V_A – q·4 = 0, откуда V_A = q·4 = 80 кН.

Изгибающие моменты от заданной нагрузки:

M^I(x) = V_A·x = 80·x; M^I(0) = 0; M^I(2) = 160 кНм.

M^II(x) = V_A·2 – H_A·x = 160 + 410·x/3; M^II(0) = 160 кНм; M^II(3) = 570 кНм.

M^III(x) = V_A·(2 + x) – H_A·3 – 0,5·q·x² = 570 + 80·x – 10·x²; M^III(0) = 570 кНм; M^III(4) = 730 кНм.

M^IV(x) = R_B·(3 + x) + P·x = 320 + 410·x/3; M^IV(0) = 3200 кНм;

M^IV(3) = 730 кНм.

M^V(x) = R_B·x = 320·x/3; M^V(0) = 0; M^V(3) = 320 кНм.

Эпюра изгибающих моментов М_P, построенная со стороны сжатых волокон, показана на рис.1,д.

Прикладывая к основной системе поочередно силы Х₁ = 1 и Х₂ = 1, строим эпюры изгибающих моментов от единичных неизвестных, изображенные на рис.1,е,ж. Сложив эти две эпюры, получим суммарную эпюру М_S рис.1,з, необходимую для контроля расчетов.

4) Вычисление коэффициентов канонических уравнений. По правилу Верещагина находим:

5) Определение неизвестных сил. Решив систему уравнений

получим Х1= -262,742 кНм, Х2= 114,626 кНм.

5) Построение окончательных эпюр продольных и поперечных сил и изгибающих моментов. Сначала построим эпюры изгибающих моментов от найденных значений Х1и Х2, умножив эпюры М1на Х1= -262,742, М2на Х2= 114,626 (рис.2,а,б).

Окончательные опорные реакции определим, суммируя соответствующие реакции в грузовом состоянии и от сил Х1и Х2.

VA= 80 кН, НА= 125,789 - 136,667 = -10,878 кН,

RB= 106.667 - 125,789 = -19,122 кН

Продольные силы: NI(x) = -HA= 10,878 кН; NII(x) = VA= 80 кН; NIII(x) = 0; NIV(x) = 0; NV(x) = 0.

Эпюра продольных сил представлена на рис.2,в.

Поперечные силы:

QI(x) = VA= 80 кН; QII(x) = -HA= 10,878 кН; QIII(x) = VA- qx = 80 - 20x

QIII(0) = 80 кН; QIII(4) = 0

QIV(x) = -HA= 10,878 кН; QV(x) = -HA- P = -19,122 кН.

Эпюра поперечных сил представлена на рис.2,г

Окончательную эпюру изгибающих моментов получим суммированием эпюр МР, М1Х1, М2Х2(рис.2,д).

7) Проверка правильности раскрытия статической неопределимости. Обобщенное перемещение ΔSMпо направлению сил Х1и Х2в заданной раме должно быть равно нулю. Для вычисления этого перемещения надо перемножить по правилу Верещагина эпюры М и МS: