Уравнения плоскости в пространстве
Пло́скость — одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.
Пло́скость - это поверхность образованная кинематическим движением образующей по направляющей, представляющей из себя прямую (начертательная геометрия).
Некоторые характеристические свойства плоскости
· Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки;
· Две плоскости являются либо параллельными, либо пересекаются по прямой.
· Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает ее в одной точке, либо находится на плоскости.
· Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны друг другу.
· Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны друг другу.
Аналогично отрезку и интервалу, плоскость, не включающую крайние точки, можно назвать интервальной плоскостью, или открытой плоскостью.
|
|
Уравнения плоскости
Впервые встречается у А. К. Клеро (1731).
Уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г.Ламе (1816—1818).
Нормальное уравнение ввёл Л. О. Гессе (1861).
Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.
· Общее уравнение (полное) плоскости
где и — постоянные, причём и одновременно не равны нулю; в векторной форме:
где — радиус-вектор точки , вектор перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора :
Если один из коэффициентов в уравнении плоскости равен нулю, уравнение называется неполным. При плоскость проходит через начало координат, при (или , ) П. параллельна оси (соответственно или ). При (, или ) плоскость параллельна плоскости (соответственно или ).
· Уравнение плоскости в отрезках:
где , , — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях и .
· Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору нормали :
в векторной форме:
· Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , не лежащие на одной прямой:
(смешанное произведение векторов), иначе
· Нормальное (нормированное) уравнение плоскости
в векторной форме:
где - единичный вектор, — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель
(знаки и противоположны).