Метод Гаусса. Матричный способ решения систем линейных уравнений

Матричный способ решения систем линейных уравнений

Формулы Крамера

Угол между прямой и плоскостью

Угол между двумя плоскостями

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Расстояние от точки до плоскости

Нормальное уравнение плоскости

Уравнение плоскости в отрезках

Общее уравнение плоскости

Направлении.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Угол между двумя прямыми

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Уравнение прямой в отрезках

Общее уравнение прямой на плоскости

Тема 10.

Тема 11.

Швейцарский математик Георг Крамер (1704-1752) вывел следующие формулы решения систем линейных уравнений с неизвестными:

1) составляем определитель системы, если;

2) составляем вспомогательные определители;

3) применяем формулы:

,, и т.д..

Если, то система либо несовместная, либо неопределенная, имеющая бесчисленное множество решений.

Сущность матричного способа решения систем линейных уравнений состоит в том, что составляется три матрицы

;;.

Можем составить матричное уравнение откуда,

где – обратная матрица, а,, – решения системы.

Правило:

1) составляем матрицы, и;

2) если, то составляем – обратную матрицу;

3) выполнив умножение и получаем, элементы которой – решение системы.

Систему линейных уравнений с неизвестными,, …, можно решить методом исключения неизвестных. Если, то умножая первое уравнение на и прибавляя ко второму, получаем уравнение, которое не содержит. Умножая первое уравнение на и прибавляя к третьему получаем уравнение, также не содержащее. Аналогичным путем преобразуем все остальные уравнения, в результате чего придем к системе, эквивалентной исходной, но не содержащей в уравнении. Полагая и проводя аналогичные преобразования получим систему эквивалентную исходной, но в уравнение не содержащую. Выполнив ряд аналогичных действий, получим, что в последнем уравнении содержится только. Таким образом, – находим из последнего уравнения, – из предпоследнего, и т.д., а – из первого.

Метод последовательного исключения неизвестных применим к любой системе линейных уравнений.

(Применение в экономике)

Экономика как наука об объективных причинах функционирования и развития общества еще со времен своего возникновения пользуется разнообразными количественными характеристиками, а потому вбирает в себя большое количество математических методов. Исходя из этого преподавание математики студентам экономических специальностей должно опираться не только на накопление математических знаний, но и на усиление прикладной экономической направленности.

При изучении линейной алгебры у студентов не должно формироваться ощущение оторванности этой темы от экономики. Использование элементов алгебры матриц является одним из основных методов решения многих экономических задач. Особенно актуальным этот вопрос стал при разработке и использовании баз данных: при работе с ними почти вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме.

Рассмотрим одну из основных моделей макроэкономики, которая была описана в 1936 г. американским экономистом В.В. Леонтьевым.

Для простоты будем полагать, что производственная сфера хозяйства представляет собой n отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт. Обозначим через x_i объем продукции i -ой отрасли (валовый выпуск); x_ij – объем продукции i -ой отрасли, потребляемый j -ой отраслью при производстве продукции x_j; y_i – объем продукции i -ой отрасли, предназначенный для реализации в непроизводственной сфере, т.е. продукт конечного потребления; a_ij = - коэффициенты прямых затрат, объем потребления j -ой отраслью продукции i -ой отрасли при производстве объема x_j. Леонтьев отметил, что в течение длительного времени величины меняются очень слабо и могут рассматриваться как постоянные числа, зависящие от сложившейся технологии производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска:

x_ij = a_ij × x_j (i, j = 1, 2, …, n),

вследствие чего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной.

Так как валовый объем продукции любой i -ой отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта, то

(i = 1, 2, … n)

или

(i = 1, 2, … n).

Эти уравнения называются соотношениями баланса. Будем рассматривать стоимостной межотраслевой баланс, когда все величины имеют стоимостное выражение. Запишем систему балансовых соотношений одним матричным выражением:

АХ + Y = Х,

где А – структурная (технологическая) матрица, матрица коэффициентов прямых затрат, Х – вектор валового выпуска; Y – вектор конечного продукта.

Само уравнение носит название модели Леонтьева или уравнения линейного межотраслевого баланса.

Это уравнение можно использовать в двух целях. В первом случае по известному вектору валового выпуска Х требуется рассчитать вектор конечного потребления Y. Переписываем последние уравнение в виде:. Во втором случае, если матрица (Е – А) невырожденная, т.е., то по известному вектору конечного потребления Y можно определить вектор валового выпуска Х, по формуле:

.

Матрица называется матрицей полных затрат, элементы которой S_ij – величины валового выпуска продукции i -ой отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечной продукции j -ой отрасли. В соответствии с экономическим смыслом задачи все элементы матрицы А, S и векторов X и Y должны быть неотрицательны. Т.е. матрица А должна быть продуктивной (сумма элементов по любому ряду не превосходит 1).

Одним из примеров экономического процесса, приводящего к понятию собственного числа и собственного вектора матрица, является процесс взаимных закупок товаров. Рассматриваем структурную матрицу торговли А = (a_ij) для которой, тогда для вектора бюджетов Х, каждая компонента которого характеризует бюджет соответствующей страны, справедливо:

АХ = Х.

Это означает, что собственный вектор структурной матрицы А, отвечающий ее собственному значению l = 1, состоит из бюджетов стран бездефицитной торговли. Этот вектор можно определить из уравнения

(А – Е) × Х =.

Приведенные нами только самые основные задачи показывают, что знание элементов линейной алгебры, умение оперировать с матрицами и обратными матрицами, умение решать системы линейных уравнений являются важными и позволяют решать реальные экономические задачи.

Тема 12.

Опр.19.1.1. Комплексным числом z будем называть упорядоченную пару действительных чисел x, y записанную в форме z = x + iy, где i - новый объект ("мнимая единица"), для которого при вычислениях полагаем i ² = -1.

Первая компонента комплексного числа z, действительное число x, называется действительной частью числа z, это обозначается так: x = Re z; вторая компонента, действительное число y, называется мнимой частью числа z: xy = Im z.

Опр.19.1.2. Два комплексных числа z ₁ = x ₁ + iy ₁ и z ₂ = x ₂ + iy ₂ равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части:.

Множество комплексных чисел неупорядочено, т.е. для комплексных чисел не вводятся отношения "больше" или "меньше".

Геометрически комплексное число z = x + iy изображается как точка с координатами (x, y) на плоскости. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью С.

Опр.19.1.3. Суммой двух комплексных чисел z ₁ = x ₁ + iy ₁ и z ₂ = x ₂ + iy ₂ называется комплексное число z, определяемое соотношением z =(x ₁ + x ₂) + (y ₁ + y ₂) i, т.е. Re(z ₁ + z ₂) = Re z ₁ + Re z ₂, Im(z ₁ + z ₂) = Im z ₁ + Im z ₂.

Это означает, что геометрически комплексные числа складываются как векторы на плоскости, покоординатно.

Опр.19.1.4. Произведением двух комплексных чисел z ₁ = x ₁ + iy ₁ и z ₂ = x ₂ + iy ₂ называется комплексное число z, определяемое соотношением z = (x ₁ x ₂ - y ₁ y ₂) + (x ₁ y ₂ + x ₂ y ₁) i, т.е.

Re(z ₁ z ₂) = Re z ₁ Re z ₂ – Im z ₁ Im z ₂; Im(z ₁ z ₂) = Re z ₁ Im z ₂ + Im z ₁ Re z ₂.

19.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Запись комплексного числа в виде z = x + iy называется алгебраической формой комплексного числа. Изобразим число z как точку на плоскости с декартовыми координатами x, y. Если теперь перейти к полярным координатам, то, поэтому. Угол называется аргументом комплексного числа z и обозначается:. Аргумент комплексного числа определён неоднозначно (с точностью до слагаемых, кратных): если, например,, то значения, равные и т.д. тоже будут соответствовать числу z; значение аргумента, удовлетворяющее условиям, называют главным; для обозначения всех значений аргумента комплексного числа z применяется символ:.

Запись комплексного числа в виде называется тригонометрической формой числа.

Переход от тригонометрической формы к алгебраической очевиден:.

19.1.3. Показательная форма комплексного числа. Ряд Маклорена для функции сходится к функции при любом действительном х. Формально запишем это разложение для:

Степени числа i: i ² = -1; i ³ = i ² i = - i ; i ⁴ = i ² i ² = 1 ; i ⁵ = i ⁴ i = i ; i ⁶ = i ² = -1; далее значения степеней повторяются (для отрицательных степеней это тоже справедливо: i ^-1 = - i ; i ^{- 2} = -1; i ^{- 3} = i ; i ^-4 = 1 ; и т.д.). Поэтому. В круглых скобках стоят ряды для и, которые сходятся для любого действительного; поэтому получаем. Эта формула называется формулой Эйлера. Теперь любое комплексное число можно представить как; эта форма записи называется показательной.

Тема 13.

14.1. Основные понятия.

14.1.1. Определение обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) и его решения. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции

y = f (x) и её производных (или дифференциалов):

; (1)

(все три переменные x, y, F - действительны).

Опр. Порядком уравнения называется максимальный порядок n входящей в него производной (или дифференциала).

Пример: y ⁽⁴⁾ – y + x = 0 - уравнение четвёртого порядка.

Опр. Частным решением уравнения (1) на интервале (a, b) (конечном или бесконечном) называется любая n раз дифференцируемая функция, удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая уравнение на этом интервале в тождество.

Так, функция y (x) = e^x + x обращает уравнение: y ⁽⁴⁾ – y + x = 0 в тождество на всей числовой оси (y ⁽⁴⁾(x) = e^x; e^x –(e^x + x) + x = 0), т.е. является частным решением этого уравнения. Любое уравнение порядка имеет множество частных решений (частным решением приведённого уравнения является и функция y (x) = sin(x) + x). Процедуру решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения, при этом интегрировать приходится в общем случае ровно n раз, и при каждом интегрировании в решение входит очередная произвольная постоянная.

Опр. Общим решением (общим интегралом) уравнения (1) называется такое соотношение

, (2)

что: 1. Любое решение (2) относительно y (для набора постоянных C ₁, C ₂, …, C_n из некоторой области n -мерного пространства) - частное решение уравнения (1);

2. Любое частное решение уравнения (1) может быть получено из (2) при некотором наборе постоянных C ₁, C ₂, …, C_n.

Мы будем в основном рассматривать дифференциальные уравнения в форме, разрешённой относительно старшей производной:

; (3)

и получать общее решение в форме

, (4)

решённой относительно неизвестной функции.

14.2.3. Задача Коши (задача с начальным условием). Пусть функция f (x, y) определена в области D, точка. Требуется найти решение уравнения

, (8)

удовлетворяющее начальному условию

y (x ₀) = y ₀; (9)

(начальное условие (9) часто записывают в форме).

Теорема Коши (существования и решения задачи Коши). Если в области D функция f (x, y) непрерывна и имеет непрерывную частную производную, то для любой точки в окрестности точки x ₀ существует единственное решение задачи ((8),(9)).

Мы примем эту теорему без доказательства. На самом деле для существования решения в окрестности точки x ₀ достаточно только непрерывности функции f (x, y); условие непрерывности обеспечивает единственность этого решения.

14.2. ОДУ первого порядка.

14.2.1. Как следует из определения 14.1.1, обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение

, (5)

где x - независимая переменная, y (x) - неизвестная функция. В форме, разрешённой относительно производной, уравнение первого порядка записывается так:

. (6)

Если пользоваться другим обозначением производной, то можно записать (6) как

.

Модели экономического роста, экономической динамики – экономико-математические модели, описывающие в математической форме изменение во времени экономических показателей, характеризующих развитие, рост экономики в целом, ее отраслей, отдельных экономических объектов.

14.3. Решение некоторых типов ОДУ первого порядка.