При русі по колу міняється одна координата – азимут φ або пройдений шлях, , тобто є одна ступінь свободи. Такий рух характеризується одним постійним параметром - радіусом r = const, який в класичній механіці може мати будь-яке значення 0 < r < ∞, відповідно будь-яке значення можуть мати інші параметри, що характеризують рух (енергія Е, момент кількості руху mvz і т.д.) Встановлена раніше умова механічної стійкості () дає тільки певний зв'язок між різними параметрами:
(2.33)
Залежність v та r представлена графіком, тут же на осях v та r відмічені квантові значення v та r, одержувані згідно теорії Бора для атома водню з урахуванням його другого і третього постулату, коли
(2.34)
(2.35)
Отже квантові умови другого постулату Бору
(2.36)
виділяють з неперервної нескінченої множини кругових орбіт дискретну нескінченну множину.
Проте електрон може рухатися не тільки по колу, але і по еліптичній орбіті, в одному з фокусів якої буде ядро (1-й закон Кеплера). В цьому випадку змінними є два параметри - азимут φ і відстань електрона до ядра – r (тобто дві степені свободи), а траєкторія руху характеризується двома постійними параметрами - малою (а) і великою (b) піввіссями еліпса, які згідно класичній механіці можуть приймати будь-які значення:
|
|
0 < b < ∞ та 0 < а < ∞.
Отже, сукупність можливих рухів - двояко-нескінченна неперервна множина. При цьому класична механіка вимагає виконання двох законів Кеплера
(2.37)
Чи можна узагальнити другий постулат Бора і проквантувати еліптичні орбіти електрона в одноелектронних системах, тобто виділити з двояко-нескінченної неперервної множини деяк двояко-нескінченну, але дискретну множину?
Однієї квантової умови недостатньо, дійсно, спробуємо використати лише умову, що
(2.38)
то цій умові задовольняє різноманіття орбіт, для яких (2-38) встановлює тільки залежні від п зв'язки між а і b еліпса, тобто b = fn(a), але величина а може бути довільною. Тобто в системі з f степенями свободи квантування вимагає f квантових умов. Опишемо таку систему узагальненими координатами gi і узагальненими імпульсами pi, де (і = 1,2,3. f). Якщо позначити К (gі, ġі) - кінетичну енергію, тоді
, тут = - узагальнена швидкість.
Умови квантування атома по Зоммерфельду вимагає, щоб інтеграли рухів(величини, не змінні з часом) для стаціонарних квантових рухів мали дискретні значення, кратні постійній Планка
(2.39)
інтегрування в межах (від 0 до 2π або від min до max). Коло на інтегралі означає, що інтегрування по координаті gі треба проводити по всьому циклу її змін.
= 0, ± 1; ± 2…
Вираз (2.39) і виділяє з неперервної нескінченої множини рухів, можливих по класичній механіці, деяку дискретну множину. Наприклад, для кругового руху єдиною узагальненою координатою буде азимут φ; g1 = φ, тоді кінетична енергія через узагальнену швидкість приймає значення , а спряженний з координатою узагальнений імпульс буде
|
|
,
тобто просто момент кількості руху, який повинен бути квантований, умова Зоммерфельда запишеться у вигляді:
(2.40)
але згідно другому закону Кеплера mrv = const, тоді (2-40) має вигляд:
або , де = 1,2,3…
Виходить, що другий постулат Бору є окремий випадок умов квантування Зоммерфельда.
При русі електрона по еліптичній орбіті за узагальнені координати треба взяти r і φ. Тоді його повна кінетична енергія має значення , а спряжені імпульси будуть визначатись як
і
тоді умови Зоммерфельда запишуться:
(2.41)
(2.42)
Де nr та nφ радіальні та азимутальні квантові числа. Враховуючи, що mrv=const маємо:
(2.43)
Тобто, як і для руху по колу, але тут rn = rn(t) і vn=vn(t). (2.43) визначає момент кількості руху електрона в атомі.
Використовуючи рівняння (2.41) і (2.42) з врахуванням законів Кеплера можна визначити значення великих та малих піввісей еліпса та повну енергію системи Enφ,nr, які відповідають певним парам значень nφ nr. Дані величини мають вигляд:
(2.44)
(2.45)
(2.46)
Тут - радіус першої Боровської колової орбіти і Vi – іонізаційний потенціал даної системи.
Враховуючи, що a b, то з (2.44) і (2.45) випливає, що або 0, тобто
=0,1,2,3, (2.47)
При b=0 - еліпс вироджується в пряму, яка проходить через ядро,що неможливо. Отже,
=1,2,3,… (2.48)
В рівняння виходить сума = n – головне квантове число, а азимутальне число позначимо символом k, тоді n=1,2,3… k=1,2,3…n, але
(2.49)
З врахуванням позначень n і k для a, b і E маємо:
; ; (2.50)
Розглянемо можливі орбіти руху електрона, в залежності від значення головного квантового числа n:
n | ||||||||||
k | ||||||||||
a | a0 | 4 a0 | 4 a0 | 9 a0 | 9 a0 | 9 a0 | 16 a0 | 16 a0 | 16 a0 | 16 a0 |
b | a0 | 4 a0 | 2 a0 | 9 a0 | 6 a0 | 3 a0 | 16 a0 | 12 a0 | 8 a0 | 4 a0 |
А діаграма енергетичних рівнів для одно електронної системи буде мати наступний вигляд:
Стан з різним k позначаються: S, P, D, F…
Із діаграми видно, що хоча число квантових типів руху зросло, але число рівнів енергії залишилось, і це зрозуміло з (2.50), адже і не залежить від азимутального числа = k. Але це означає, що при різних типах руху, енергія системи залишається постійною.
Незалежність енергії системи від якого-небудь квантового числа називається «виродженням» енергії по даному квантовому числу.
Слід відмітити, що є рух при якому періоди зміни координат r і однакові, тобто еліпс нерухомий в просторі, як показав Зоммерфельд це можливо при виконанні двох умов:
1. Електрон рухається в чисто Кулонівському полі, коли ≈ .
2. І при постійній масі електрона.
Але з врахуванням залежності маси електрона від швидкості розрахунки Зоммерфельда показали, що періоди зміни r і не співпадають і еліпс буде змінювати своє положення в просторі, тоді траєкторія електрона буде мати більш складний вигляд.
Тоді для значення енергії атома в даному стані зі значенням квантових чисел = n і = k буде більш складне рівняння (по Зоммерфельду):
, (2.51)
де - постійна тонкої структури
По (2.51) залежить від n і k, тобто виродження по азимутальному квантовому числу вже ліквідовано. Але така ліквідація виродження має приводити до ускладнення спектра випромінювання атома водню, так як одному енергетичному рівню з головним квантовим числом n будуть відповідати різні енергії, які визначаються різними значеннями = k, тобто буде система підрівнів – тонка структура спектра. Розглянемо першу лінію серії Бальмера, яка відповідає переходу з рівня n=3 на рівень n=2. З врахуванням азимутального квантового числа для n=3 → k= =1,2,3- тобто маємо третій трьох квантовий (3S,3P,3D) рівень і перехід на другий двоквантовий рівень (2s,2p): (k=1,2)
|
|
Отже, перша лінія Бальмера повинна складатися з групи шести близько розташованих ліній, але в експерименті завжди спостерігається менше ліній.
Аналіз спектрів показав, що в них є тільки ті лінії, які відповідають переходам між рівнями, для яких виконується умова:
(2.52),
Всі решта переходів малоймовірні.
Тоді для першої лінії Бальмера залишаться тільки три лінії, які відповідають переходам:
1) 3S→2P
2) 3P→3S
3) 3D→2P
Правило переходів між рівнями яке визначається виразом (2.52) і називається правилом відбору.