Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости

Пусть на плоскости даны две прямые .

Обозначим через φ- угол между двумя прямыми .

Тогда по известной формуле тригонометрии

Итак, тангенс угла между двумя прямыми вычисляется по формуле

Ясно, что две прямые будут параллельны, если их угловые коэффициенты будут равны.

Итак, условие параллельности двух прямых:

Если две прямые перпендикулярны, т.е. угол , мы получим .

Это будет иметь место, когда , т.е.

Итак, условие перпендикулярности двух прямых: .

Пусть прямые заданы общими уравнениями:

и .

Вектор прямой .

Вектор прямой .

Угол между данными прямыми равен углу между нормальными векторами прямых:

Окончательно, получаем .

Прямые будут параллельны, если их нормальные векторы параллельны. Условие параллельности двух прямых будет иметь вид:

Если , то прямые совпадают.

Условие перпендикулярности двух прямых есть условие перпендикулярности нормальных векторов

Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М₀(-1,3), параллельно прямой 2x-5y+6=0.

Решение. Так как искомая прямая должна быть параллельна данной, то нормальный вектор данной прямой является нормальным вектором искомой прямой. Зная нормальный вектор и точку М₀(-1,3), мы можем написать уравнение искомой прямой

2(x+1)-5(y-3)=0

Окончательно, получаем 2x-5y+17=0

Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М₀(-3,2) перпендикулярно прямой x-3y-7=0.

Решение. Условие перпендикулярности двух прямых

Мы имеем A₁=1; B₁= - 3.

Условие перпендикулярности будет выполнено, если A₂=3; B₂=1.

Действительно,

Значит, нормальный вектор искомой прямой

Уравнение искомой прямой 3(x+3)+1(y-2)=0

или, окончательно, 3x+y+7=0