I Каноническое уравнение

Определение. Всякий ненулевой вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется ее направляющим вектором. Стандартное обозначение:

Выведем уравнение прямой, проходящей через данную точку M ₀(x ₀; y ₀) и имеющей данный направляющий вектор . Как обычно, берём текущую точку данной прямой M (x, y) и рассматриваем вектор Векторы и коллинеарны, следовательно, их проекции пропорциональны:

. (1)

Это и есть искомое уравнение. Его называют каноническим уравнением прямой.

Пример. Через точку M ₀(1;2) провести прямую q, перпендикулярную прямой p: 3 x– 4 y+ 7=0.

Решение. Нормальный вектор прямой p перпендикулярен ей, а значит, параллелен прямой q, т.е. он для прямой q является направляющим

.

Следовательно, уравнение прямой q имеет вид

или .

Замечание 1. Если прямая проходит через две данные точки M ₁(x ₁; y ₁) и M ₂(x ₂; y ₂), то вектор – ее направляющий вектор. Положив M ₀ =M ₁ и применив каноническую форму (1), получим уже известную форму:

. (2)