Уравнение окружности с центром в точке и радиусом имеет вид
. (1)
Это – каноническое уравнение окружности.
Уравнение второй степени относительно текущих координат x и y является уравнением окружности тогда и только тогда, когда в этом уравнении коэффициенты при квадратах координат равны, а член с произведением координат отсутствует. Таким образом, это уравнение имеет вид
(2)
Задача. Определить координаты центра и радиус окружности, заданной общим уравнением
.
Решение. Приведем данное уравнение к виду (1). Для этого разделим все его члены на 9, а затем сгруппируем отдельно члены, содержащие x и y:
.
Дополним выражения, стоящие в каждой из скобок, до полного квадрата:
;
.
Теперь данное уравнение принимает вид
,
Или
,
Откуда
.
Сравнивая это уравнение с уравнением (1), получим , и . Таким образом, данная окружность имеет центр в точке и радиус .
Эллипс
Эллипс есть множество точек, сумма расстояний которых от двух фиксированных точек, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная , большая чем расстояние между фокусами .
|
|
|
Уравнение эллипса имеет вид
, (1)
Где .
А1А2=2а – большая ось
В1В2=2в – малая ось
F1F2=2c – фокусное расстояние
Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к его большой оси, т.е.
. (2)
Очевидно, что .
Если эллипс, определяемый уравнением вида (1), расположен так, что его фокусы лежат на оси , то тогда и большой осью служит отрезок длиной , а малой осью – отрезок длиной . Эксцентриситет такого эллипса вычисляется по формуле
,
Где .
Задача. Найти оси, вершины, фокусы и эксцентриситет эллипса
.
Решение. Приведем данное уравнение к простейшему виду (1), для чего свободный член перенесем вправо и разделим на него все члены уравнения. В результате получим
, или .
Сравнивая полученное уравнение с уравнением (1), имеем , . Отсюда находим оси эллипса , и координаты вершин , , , . Далее, находим .
Следовательно, фокусами эллипса служат точки и . Эксцентриситет эллипса вычисляем по формуле (2): .
Задача. Показать, что уравнение
Представляет собой уравнение эллипса.
Решение. Приведем данное уравнение к простейшему виду. Для этого сгруппируем отдельно члены, содержащие переменные и :
.
В каждой из скобок вынесем коэффициент при квадрате переменной, а затем выделим полный квадрат:
;
.
Данное уравнение преобразуем теперь к виду
,
Или
,
Откуда
.
Гипербола
|
|
|
|
Уравнение гиперболы имеет вид
, (1)
Где .
А1А2=2а – действительная ось
В1В2=2в – мнимая ось
F1F2=2c – фокусное расстояние
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к ее действительной оси:
. (2)
Очевидно, что .
Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых
и . (3)
Если мнимая ось гиперболы направлена по оси и имеет длину , а действительная ось длиной направлена по оси , то уравнение гиперболы имеет вид
. (4)
Эксцентриситет такой гиперболы вычисляется по формуле
.
Её асимптоты те же, что и у гиперболы (1).
Задача. Найти оси, вершины, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот гиперболы
.
Решение. Перенесём свободный член вправо и разделим на него все члены данного уравнения. В результате получим простейшее уравнение гиперболы
, или .
Сравнивая это уравнение с уравнением (1), имеем , . Таким образом, действительная ось гиперболы , а мнимая ось ; координаты вершин и . Далее, ; следовательно, фокусами гиперболы служат точки и . Эксцентриситет гиперболы вычисляем по формуле (2): . Наконец, подставляя значения , в формулы (3), получаем уравнения асимптот гиперболы: и .
Задача. Показать, что уравнение
Представляет собой уравнение гиперболы.
Решение. Приведём данное уравнение к простейшему виду (ср. с решением задачи 3.46):
;
; .