Глава III. Степенная функция

Степенная функция, ее свойства и график. Взаимно обратные функции. Равносильные уравнения и неравенства. Иррациональ­ные уравнения. Иррациональные неравенства.

Основные цели — обобщение и систематизация знаний учащих­ся о степенной функции; ознакомление с многообразием свойств и графиков степенной функции в зависимости от значений оснований и показателей степени; ознакомление с понятием равносильности; обучение решению иррациональных уравнений.

Рассмотрение свойств степенных функций и их графиков проводит­ся поэтапно в зависимости от того, каким числом является показатель:

1) четным натуральным числом;

2) нечетным натуральным числом;

3) числом, противоположным четному;

4) числом, противоположным нечетному;

5) положительным нецелым числом;

6) отрицательным нецелым числом.

Обоснование свойств степенной функции в этой главе не прово­дится, т. к. они вытекают из свойств степени с действительным пока­зателем, рассмотренных в первой главе.

На примере степенной функции вводится понятие взаимно обрат­ных функций. Этот материал является ознакомительным (для уча­щихся классов всех профилей, кроме физико-математического), слу­жит для расширения функциональных представлений и в отработке не нуждается.

Потребность в рассмотрении равносильности уравнений возника­ет в связи с изучением иррациональных уравнений. Основным мето­дом решения иррациональных уравнений является возведение обеих частей уравнения в степень с целью перехода к рациональному урав­нению — следствию данного. С помощью графиков решается вопрос о наличии корней и их числе, а также для нахождения приближенных значений корней, если аналитически решить уравнение трудно.

Иррациональные неравенства обязательно рассматриваются толь­ко в классах физико-математического профиля (уровень трудности упражнений учитель определяет самостоятельно). В классах техни­ческого профиля желательно больше внимания уделить изучению по­нятия равносильности и решению иррациональных уравнений, а с учащимися классов социально-экономического и естественного профи­лей основным должен стать материал, связанный с исследованием функции.