6.1. Алгебры
Определение:
n-арная операция на множестве М – это функция типа
,
где n-арность операции. Операция замкнута относительно множества М по определению, т. е. операция над элементами множества М, и результат тоже элемент М.
Определение: Алгеброй называется множество, вместе с заданной на нем совокупностью операций , т. е. система
.
Определение: М – основное (несущее) множество (носитель алгебры) алгебры А.
Определение: Тип алгебры – вектор арностей операций.
Определение: Сигнатура – совокупность операций W.
Определение: Множество называется замкнутым относительно n-арной операции j на М, если
,
т. е. если значения j на аргументе из принадлежат .
Определение: Если замкнуто относительно всех операций , алгебры М, то система
называется подалгеброй алгебры А (при этом рассматриваются как операции на ).
Примеры:
1. Определение: Алгебра - называется полем действительных чисел.
Обе операции бинарные, поэтому тип этой алгебры (2,2). Сигнатура .
Подалгеброй этой алгебры является, например, поле рациональных чисел.
|
|
2. Пусть . Определим на операции: - «сложение по модулю р», - «умножение по модулю р», следующим образом:
и , где с и d – остатки от деления на р чисел а + b и а × b соответственно.
Пусть, например, р = 7, тогда и
.
Часто обозначают: a + b = с (mod p)
a × b = d (mod p).
Определение: Конечным полем характеристики р называется алгебра , если р – простое число.
3. Пусть задано множество U.
Определение: Булеаном U называется множество всех подмножеств множества U (обозначается ).
Определение: Булева алгебра множеств над U – алгебра . Ее тип (2,2,1), сигнатура .
Элементами основного множества булевой алгебры являются множества (подмножества U).
Для любого - является подалгеброй В.
Например, если , то основное множество алгебры В содержит 16 элементов; алгебра - подалгебра В. Ее несущее множество содержит четыре элемента.
4. Множество F одноместных функций на R, т. е. функции вместе с операцией дифференцирования является алгеброй. Элементы несущего множества – функции типа , единственная операция этой алгебры дифференцирования – унарная операция типа (так как производной функцией на R снова является функция на R).
Множество элементарных функций замкнуто относительно дифференцирования, поскольку произведение элементарных функций элементарно, следовательно, образуют подалгебру данной алгебры.
5. Рассмотрим квадрат с вершинами в точках , пронумерованных против часовой стрелки, и повороты квадрата в том же направлении, переводящие вершины в вершины. Таких поворотов бесконечно много: на углы 0, , p, , 2p, ,..., однако они задают всего 4 различных отображения множества вершин в себя, соответствующие первым четырем поворотам.
|
|
- поворот на углы 0, 2p, 4p,...
- поворот на углы
- поворот на углы 0, 3p, 5p,...
- поворот на углы
Таким образом, получаем алгебру с основным множеством и четырьмя унарными операциями (т. е. сигнатура алгебры , тип алгебры {1,1,1,1}. Их можно задать таблицей, в которой на пересечении строки номер и столбца написано значение функции .
Определение: Тождественной операцией называется операция a, отображающая любой элемент в себя. Тождественная операция соответствует нулевому повороту. Подалгебр в алгебре с одной операцией a, нет.
6. Множество - отображение вершин в себя из предыдущего примера (5), вместе с бинарной операцией композиции “ ” отображений образует алгебру (L, ). Композиция отображений – это последовательное выполнение двух поворотов. Она задается таблицей. В таблице на пересечении строки a и столбца g написан результат .
Таблица Кэли
Определение: Такая таблица, задающая бинарную операцию, называется таблицей Кэли. Множество , т. е. повороты на углы 0, p образуют подалгебру алгебры .