Разложение вектора по координатным ортам

Теорема. Всякий вектор может быть представлен в виде линейной комбинации всех координатных ортов с проекциями рассматриваемого вектора на соответствующие координатные оси, т.е.

.

Здесь используются обозначения: , , .

Доказательство.

Совместим начало вектора с началом декартовой системы координат, т.е. построим вектор такой, что .

Построим составляющие вектора по координатным осям:

, , .

Согласно определению суммы векторов,

, или, что то же самое, .

Если применить теперь теорему о связи между составляющей вектора по оси и ортом этой оси, то получим т.е. что и требовалось доказать.

Теорема. Разложение вектора по координатным ортам единственно.

Доказательство. Пусть . Покажем, что , , Вычислим проекцию вектора на ось . На основании теоремы о проекции суммы векторов на ось .

Воспользуемся теоремой о проекции на ось произведения вектора на скаляр. Тогда получим . Так как , , , то имеем и потому .

Аналогично можно доказать, что и