Определение. Говорят, что точка делит отрезок, соединяющий точки и , в данном отношении , если вектор равен произведению вектора на число , т.е. .
Согласно определению, точка делит отрезок, соединяющий точки и в данном отношении если
1) точка лежит на прямой, проходящей через точки и , причем
а) точка лежит между точками и , при ,
б) точка лежит вне отрезка, соединяющего точки и , при
2)
При этом разумеется, что точка не совпадает ни с одной из точек и
Теорема. Если точка делит отрезок, соединяющий точки и в данном отношении , причем , то для координат точки справедливы следующие равенства:
; ;
Доказательство. Пусть точка делит отрезок, соединяющий точки и , в данном отношении . Тогда по определению , и потому по отношению к любой оси справедливо равенство
,
или, с учетом теоремы о проекции на ось произведения вектора на скаляр,
.
Возьмем в качестве оси ось и применим теорему о проекции вектора на числовую ось. При этом получим
|
|
,
откуда следует, что
.
Вполне аналогично можно доказать справедливость остальных равенств, указанных в формулировке теоремы.
Частный случай. Координаты точки, делящей отрезок пополам (при этом ), равны среднему арифметическому соответствующих одноименных координат концов отрезка, т.е. ; ; .