Основні поняття

Тема 1. ГЕОМЕТРИЧНІ ВЕКТОРИ

Векторна алгебра – це розділ векторного числення, в якому вивчаються прості операції над вільними векторами. До простих операцій належать лінійні операції над векторам: операції додавання векторів та множення вектора на число.

Векторна алгебра виникла і вдосконалювалася у зв’язку з потребами механіки і фізики. До ХІХ ст. величини, які зустрічались у механіці та фізиці задавали числом. Подальший розвиток фізики показав, що деякі з фізичних величин для більш повної характеристики потребують не тільки встановлення їх чисельного значення, а й визначення напряму, тобто вектору.

Вперше вектори почав використовувати К.Вессель у 1799 р. для інтерпретації комплексних чисел. Термін «вектор» (від латинського vector – переносник) ввів у 1848 р. ірландський математик і механік У.Гамільтон. Він разом з німецьким математиком Г.Грасманом виклав теорію комплексних чисел, яка стала одним із джерел розвитку векторного числення.

Але справжній розвиток векторної алгебри розпочався лише в середині ХІХ ст., що привило до створення нової математичної дисципліни – векторного аналізу.

Апарат векторного числення ефективно використовується в багатьох загальнонаукових та інженерних дисциплінах (електро- і гідродинаміці, теоретичній та технічній механіці, теорії механізмів і машин).

Фізичні величини поділяють на скалярні (маса, робота, температура тощо) та векторні (швидкість, прискорення, сила тощо).

Скалярними величинами (скаляром) називають величини, які характеризуються тільки числом.

Векторними величинами називають такі величини, для повного визначення яких крім чисельної характеристики необхідно вказати ще і напрям.

Приклад 1. Величина сили являє собою міру механічної дії на тіло з боку інших тіл або полів. Сила, як вектор , є повністю визначеною, коли задані її величина (модуль), напрям та точка прикладання. В наслідок дії сили тіло змінює швидкість або деформується ї за величиною зміни швидкості або деформації здійснюється вимірювання сили.

Вектором у реальному просторі (геометричним вектором) називають напрямлений відрізок з початковою точкою та кінцевою точкою , який можна пересувати паралельно до самого себе. Напрям вектора відповідає напряму від початкової до кінцевої точки (рис. 1).

Рис. 1

Точка – початкова точка, точка – кінцева точка вектора .

Зауваження. Початкові точки геометричних векторів не фіксуються у просторі, тому вектори розглядаються як вільні вектори і позначаються , (рис.1).

Кожний вектор характеризується скалярною величиною – довжиною.

Довжиною (модулем) вектора називають відстань між його початковою та кінцевою точками і позначають (рис.1).

Для вільного вектора довжину позначають .

Довжина вектора є його чисельною характеристикою, за допомогою якої встановлюється кількісне значення векторної величини.

Наприклад. Якщо – вектор сили, то його довжина відповідає чисельному значенню міри механічної дії, а напрям вектора вказує напрям дії сили. Якщо – вектор швидкості, то його довжина визначає величину швидкості, а напрям вектора вказує на напрям руху.

Нульовим або нуль-вектором називають вектор, у якого співпадають початкова та кінцева точки.

За означенням довжина нульового вектора дорівнює нулю, . Напрям нульового вектора не визначений. Нульовому вектору можна приписати будь-який напрям.

Колінеарними (паралельними) називають вектори, які лежать на одній прямій або на паралельних прямих, позначають або .

Якщо вектори та непаралельні, то це позначають або (рис.1).

Зауваження. Нульовий векторвважається колінеарним до будь-якого вектора .

Колінеарні вектори можуть бути однаково (співнапрямлені), , або протилежно напрямленими, .

Протилежними називають два вектори, які мають однакову довжину і протилежно напрямлені.

Наприклад. Якщо кінцеву точку вектора вибрати у якості початкової точки, а його початкову точку у якості кінцевої, то одержимо новий вектор протилежний до заданого вектора, . Довжини векторів співпадають (рис.1).

Одиничним вектором (ортом) називають вектор , довжина якого дорівнює одиниці, .

Ортом вектора називається одиничний вектор , напрям якого збігається з напрямом вектора : та .

Вектори та називають рівними, , якщо їх можна сумістити паралельним перенесенням. Тобто, якщо існує таке паралельне перенесення, при якому початок першого вектора суміщається з початком другого, а кінець першого – з кінцем другого.

Всі нульові вектори вважаються рівними.

Очевидно, вектори рівні тоді і тільки тоді, коли вони паралельні, однаково напрямлені та мають рівні модулі:

та .

Зауваження. У означеннірівності векторів не передбачається якесь певне їх розміщення в просторі, тому, не порушуючи рівності, вектор можна пересувати у просторі паралельно самому собі.

Компланарними називають вектори, які лежать або в одній площині, або в паралельних площинах.

Зауваження. Будь-які два векториє компланарними.

Крім вільних векторів, початкова точка яких у просторі вибирається довільним чином, у механіці та фізиці часто розглядають вектори, які характеризуються модулем, напрямом і положенням початкової точки – точки прикладання вектора.

Клас рівних між собою векторів, які розміщенні на одній прямій, називають ковзними векторами. Наприклад, ковзними векторами є вектори кутової швидкості при обертанні тіла, оскільки вони можуть розміщуватись тільки на осі обертання.

Розглядаються зв’язні вектори, які вважаються рівними, якщо вони мають не тільки рівні модулі та однаковий напрям, а і спільну точку прикладання. Прикладом зв’язного вектора є сила, що прикладена до певної точки пружного тіла, оскільки результат її дії залежить від точки прикладання.

Зауваження. У основу векторного числення, яке вивчає операції над векторами, покладено поняття вільного вектора. Ковзний та зв’язний вектори можна виразити через два вільних вектора, таким чином замінити задання ковзного та зв’язного векторів на задання вільних векторів.

Завдання для самостійної роботи

1. Намалювати три колінеарні вектори.

2. Намалювати три компланарні вектори.

3. Намалювати три нульові вектори.

4. Намалювати два протилежні вектори.

5. Намалювати три співнапрямлені вектори.

6. Намалювати два протилежно напрямлені вектори.

Питання для самоперевірки