На вигляд перехідного процесу

Розташування полюсів на комплексній площині зумовлює характеристики перехідного процесу, динамічні показники якості. В випадку, коли передатна функція замкненої системи не має нулів, то при виборі її бажаного характеристичного полінома можна керуватися стандартними формами (фільтрами), які знайшли широке розповсюдження на практиці. Стандартні форми визначають коефіцієнти характеристичного полінома (знаменника), що забезпечують перехідні процеси з відомими показниками якості.

В характеристичному поліномі спочатку виділяються полюси для компенсації нулів, а поліном, що залишився, формується з умови бажаного розташування коренів.

Якість роботи системи керування визначається її точністю в сталому режимі і формою перехідного процесу. При дослідженні перехідних процесів частіше вважають, що вхідний сигнал є функцією Хевісайда. В цьому випадку крива перехідного процесу називається перехідною функцією і характеризується показниками, що приймаються за міру якості системи керування (рис. 2):

· час наростання - час, необхідний для досягнення 95% кінцевого сталого значення;

· час керування - час за який коливання керуємої величини зменшуються до деякої наперед заданої величини ;

· перерегулювання – різниця між максимальним значенням керованої величини і її сталого значення (%);

· пульсації - число коливань до виходу кривої в сталий режим.

Типові перехідні характеристики для різних фільтрів при вхідному сигналі у вигляду функції Хевісайда якісно представлені на рис. 3.

Розглянемо характеристичне рівняння:

;

яке запишемо у вигляді:

.

За виразами Вієта визначається як сума всіх коренів рівняння. В загальному вигляді . При необхідності, можна задати потрібне розташування коренів характеристичного поліному на комплексній площині виходячи з вимог динаміки. В випадку, коли корені дійсні й кратні то: . Приймемо наступне позначення: , де - середнегеометричний корінь.

З урахуванням викладено вище запишемо:

Розташування коренів характеристичного рівняння на комплексній площині визначається величиною , що пов’язана з розташуванням крапки на дійсній вісі – геометричний центр всіх коренів системи. Коефіцієнт визначає взаємне розташування коренів. Слід зауважити, що визначає криву перехідного процесу в відносному часі , а величина масштабує час протікання перехідного процесу.

На рис.4 показано вплив зміни значення середньогеометричного кореня на форму і якість часових і частотних характеристик (на прикладі фільтру Баттерворта).

Рис. 4 Вплив середньогеометричного кореня на перехідні характеристики (а) й ступеня системи (б)

Зростання сприяє поліпшенню динаміки системи завдяки зменшення часу наростання і часу встановлення сигналу. Ступінь характеристичного полінома задає порядок системи, що синтезується.