Подставляя , получаем , ,
В пирамиде стоят 19 винтовок, из них 3 с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью 0,81, а стреляя из винтовки без оптического прицела, — с вероятностью 0,46. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки.
В этой задаче первым испытанием является случайный выбор винтовки, вторым — стрельба по мишени. Рассмотрим следующие события:
А — стрелок поразит мишень;
— стрелок возьмет винтовку с оптическим прицелом;
— стрелок возьмет винтовку без оптического прицела.
Используем формулу полной вероятности .
Имеем
Учитывая, что винтовки выбираются по одной, получаем и соответственно (для ) и (для ); таким образом, , .
Условные вероятности заданы в условии задачи:
и .
Следовательно,
0.
Ответ: Р(А) = 0.515.
Задача 1.4. Подставляя , получаем , , ,
В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами - изготовителями. На складе имеются электродвигатели названных заводов соответственно в количестве 19, 6 и 11 шт., которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока соответственно с вероятностями 0,85, 0,76 и 0,71. Рабочий берет случайно один двигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятности того, что смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен соответственно первым, вторым или третьим заводом-изготовителем.
|
|
Первым испытанием является выбор электродвигателя, вторым - работа электродвигателя во время гарантийного срока. Рассмотрим следующие события:
А — электродвигатель работает безотказно до конца гарантийного срока;
— монтер возьмет двигатель из продукции 1-го завода;
— монтер возьмет двигатель из продукции 2-го завода;
− монтер возьмет двигатель из продукции 3-го завода.
Вероятность события А вычисляем по формуле полной вероятности:
Условные вероятности заданы в условии задачи:
, и .
Аналогично предыдущей задаче найдем вероятности:
, , .
0.
По формуле Бейеса вычисляем условные вероятности событий (гипотез) , , :
Ответ: , , .
Задача 1.5. В каждом из 11 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,3. Вычислить все вероятности , , где k — частота события А. Построить график вероятностей . Вычислить наивероятнейшую частоту.
Задано: п = 11, р = 0,3, q = 1 — р = 0,7.
Найти:
Используем формулу Бернулли и формулу вычисления последующего значения через предыдущее значение : . Значение вычисляем по первой из формул, а остальные вероятности — по второй.
|
|
В рекуррентном соотношении вычисляем постоянный множитель
= 0,4285714, = 0,0197732.
Результаты вычислений запишем в табл. 2. Если вычисления верны, то должно выполняться равенство .
Таблица 2.
k | ||
− | 0,0197732 | |
11/1 | 0,0932168 | |
10/2 | 0,1997503 | |
9/3 | 0,2568218 | |
8/4 | 0,2201330 | |
7/5 | 0,1320798 | |
6/6 | 0,0566056 | |
5/7 | 0,0173282 | |
4/8 | 0,0037131 | |
3/9 | 0,0005304 | |
2/10 | 0,0000454 | |
1/11 | 0,0000017 | |
− | 0,9999994 |
По найденным значениям вероятностей построим их график (рис. 1).
Рис. 1. График вероятностей
Найдем наивероятнейшую частоту по заданным условиям:
Значит, наивероятнейшая частота k = 3 и, как и было получено ранее, значение является максимальным.
Задача 1.6. В каждом из 500 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что событие А происходит:
а) точно 220 раз;
б) точно 190 раз;
в) меньше чем 240 и больше чем 180 раз;
г) меньше чем 235 раз.
При решении этой задачи используем теоремы Муавра — Лапласа: локальную в случаях а) и б) и интегральную для случаев в) и г).
а) Задано: п = 500, р = 0,4, k = 220.
Найти: .
Имеем:
б) Задано: п = 500, р = 0,4, k = 190.
Найти: .
Получаем:
в) Задано: п = 500, р = 0,4, a = 190, b = 240.
Найти: .
Находим:
г) Задано: п = 500, р = 0,4, a = 0, b = 235.
Найти: .
Имеем:
Задача 1.7. Случайная величина X задана рядом распределения
X | ||||
P | 0,14 | 0,20 | 0,49 | 0,17 |
Найти функцию распределения F(х) случайной величины X и построить ее график. Вычислить для X ее среднее значение M(Х), дисперсию D(Х) и моду Мо.
Функцию распределения находим по формулам для дискретных случайных величин:
и
Построим график функции распределения (рис. 2).
Рис. 2. График функции распределения.
Среднее значение M(Х) вычисляем по формуле :
M(Х) = 3 ∙ 0,14 + 5 ∙ 0,2 + 7 ∙ 0,49+ 11 ∙ 0,17 = 6,72.
Для нахождения дисперсии воспользуемся формулами
и :
∙ 0,14 + 0,2 + 0,49+ 0,17 = 50,84,
D(Х) = 50,84 — = 5,6816.
Моду Мо найдем по максимальной вероятности Мо = 7.
Задача 1.8. Случайная величина X задана функцией плотности вероятности
Значения параметров К и R вычислены по следующим формулам:
K=2 + V = 2+0 =2, R = 2∙К = 4.
Найти функцию распределения F(х) случайной величины X. Построить графики функций и . Вычислить для X ее среднее значение M(Х), дисперсию D(Х), моду Мо и медиану Ме.
Функцию распределения непрерывной случайной величины находим по формуле: , где − функция плотности вероятности.
Поэтому
Построим графики функций и (рис.3 и рис.4)
Рис. 3. График функции плотности вероятности . | Рис.4. График функции распределения . |