Пусть – три точки пространства, не лежащие на одной прямой, через которые проходит плоскость. Возьмем произвольную точку плоскости и образуем три вектора . Так как все 4 точки лежат в одной плоскости, то и три вектора, их соединяющие, лежат в той же плоскости, то есть компланарны. Их смешанное произведение равно 0, т.е.
Поскольку смешанное произведение равно определителю, составленному из координат векторов, то должно выполняться:
Написанное равенство – уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
Покажем на примере как от данного вида уравнения плоскости, довольно громоздкого и неудобного на практике, перейти к общему.
Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки .
Подставив в (19.4) координаты точек , получим:
.
Разложим определитель по элементам первой строки:
,
,
.
Сократив на 5, получим общее уравнение искомой плоскости
.