Конечные и разделённые разности играют особую роль в теории интерполяции. Они используются как для формирования новых интерполяционных формул, так и для оценки погрешности интерполяции.
Пусть дана таблица значений функции . Конечной разностью первого порядка в точке xi (обозначается символом ), называется выражение
,
второго порядка, обозначается , – выражение
,
k-го порядка, –
. |
Так, например, , ,
Разделенной разностью первого порядка в точках , , обозначается , называется выражение
,
второго порядка в точках , , , обозначается , – выражение
,
k-го порядка в точках , , , – выражение
.
Так, например,
,
,
.
Получим некоторые полезные для дальнейшего соотношения, связанные с разделенными разностями.
Выразим через значения функции в узловых точках. Так, непосредственно из определения следует
,
и, после очевидных преобразований,
.
Продолжая, далее, по индукции, получим
.
Или, для сокращения записи, используя функцию (2.3),
(2.5) |
Замечание. Если в поменять местами значения , то это приведет лишь к перестановке соответствующих слагаемых правой части соотношения (2.5). Следовательно, разделенные разности являются симметричными функциями узловых точек. |
Так, например
|
|
,
и т.д.
Получим теперь второе полезное соотношение.
Выразим через разделенные разности. Так, непосредственно из определения следует
Прибавляя теперь к правой части после очевидных преобразований получим
.
Рассуждая далее по индукции по m придем к искомому соотношению
(2.6) |
Если теперь изменить нумерацию точек и обозначить через , через и т.д., то соотношение (2.6) с учетом симметричности распределенных разностей принимает вид
(2.61) |