Пусть имеются некоторые множества , , и на этих множествах определены некоторые отношения , , , , которые можно задать или как некоторые подмножества декартовых произведений множеств , , , или указав свойства , , , (аксиомы), которыми они обладают.
В дальнейшем будем всегда задавать отношения , , , аксиомами.
Может случиться, что указанными свойствами , , , обладает и другая система отношений , , , . Например, на множестве действительных чисел алгебраические операции — сложение и — умножение обладают одним и тем же свойством коммутативности. Обозначим через множество всех систем отношений = { , , , }, = { , , , }, для которых выполняются аксиомы , , , .
Определение [1.1]. Говорят, что на множествах , , задана математическая структура рода , если задан элемент непустого множества с помощью аксиом , , , ; , , — база структуры рода .
Пример 1 (структура группы).
База — одно множество ;
— алгебраическая операция, заданная на и обладающая свойствами:
— замкнутость;
— ассоциативность;
— существование нейтрального элемента;
— существование симметричного элемента.
Отношение определяет на множестве структуру рода группы и тогда говорят короче: — группа.
Пример 2 (структура векторного пространства).
База — два множества: и поле ;
Система отношений — ={ , }где
(сложение): , ;
(умножение): , ;
, , , — известные свойства, которыми обладают отношения и .
называют векторным пространством над полем .
Во втором примере множество играет основную роль, а множество является вспомогательным.
Совокупность всех утверждений, которые могут быть получены из аксиом математической структуры путем логического вывода, составляет теорию этой математической структуры. Таким образом, для построения математической теории необходимо:
1) указать некоторые основные множества (их элементы называют основными) и вспомогательные множества;
2) указать систему аксиом, которые задают отношения, называемые основными.
Этот метод построения математической теории называется аксиоматическим методом.