2015-06-30
852
Пусть f(z) задана в g, за исключением может быть некоторых изолированных точек.
Точка z 0 
g называется правильной точкой функции f(z), заданной в g,если $ 
cn(z-z0)n =f(z) в g 
|z-z0| < r (z0), где r (z0)-радиус сходимости степенного ряда.
Все остальные точки z g- особые точки функции f(z), заданной в g.
Замечание. Если f(z) C 
(g), то все z g- правильные точки f(z). Если f(z) задана в 
, то граничные точки могут быть как правильными, так и особыми.
Пусть f(z) C (g); f(z0)=0, z0 g, тогда z0 - нуль аналитической функции. f(z)= cn(z-z0)n => c0 =0. Если c 1=…= cn-1 =0, а c n 
0, то z 0 - нуль n-того порядка.
Заметим, что в нуле n-того порядка f(z0)=f'(z0)=… f(n-1)(z0)=0, f(n)(z0) 0 и f(z)=(z-z0)n f1(z), f1(z0) 0.
Теорема о нулях аналитической функции.
Пусть f(z) C (g) и обращается в 0 в бесконечном множестве различных точек
(z i zk, все z n g и f(z n)=0), имеющем предельную точку (точку сгущения) z * g
(
zn=z* g). Тогда f(z) 
0, для z g.
Следствия.
1. Все нули f(z) C (g) и f(z) тождественно 0 в g - изолированные.
2. Если f(z) C (g) и f(z) тождественно 0 в g, то в " ограниченной ' 
g может быть лишь конечное число нулей f(z).
Теорема. Если f1 (z) и f 2(z) C (g) и $ {zn} 
z* g, zi zk и f 1(zn)=f2(zn), то f 1(z) f2 (z) для " z g.
Для доказательства достаточно при помощи теоремы о нулях установить, что функция h(z)=f 1(z)-f2(z) 0 в g.
Следствия теоремы единственности.
Множество задания аналитической функции.
В области g может существовать только одна аналитическая функция, принимающая заданные значения на
a) {zn} z* g, zi zk
b) x C g, C- кусочно-гладкая кривая.
c) z ' g.
Другими словами: Функция аналитическая в g однозначно определяется заданием своих значений на a), b), c).
Существенное замечание. Может - не значит существует. Нельзя произвольно задавать значения f(z n) или f(C) или f( ')!
