Формулировка задачи:
Предприятию необходимо взять в аренду складские помещения для хранения своей продукции.Склад может быть расположен в одном из трех городов: D, B или C. Руководству предприятия, в составе: Петров П.Е., Иванов И.В. и Некрасова Н.Е., необходимо решить: в каком городе рациональнее расположить склад. Для анализа альтернатив руководство выделило три критерия, оказывающих наибольшее влияние на доходность предприятия: спрос на продукцию (С), наличие конкурентов (К) и стоимость аренды складских помещений (Ар) в каждом из городов. Основываясь на выдвинутых критериях, руководство должно отдать предпочтение определенному городу.
В каком городе выгоднее разместить склад, при условии, что мнения экспертов равнозначны?
Решение:
1. Матрицы парных сравнений критериев:
Петров П.Е. | Иванов И.В. | Некрасов Н.Е. | |||||||||||||||||||
С | К | Ар | С | К | Ар | С | К | Ар | |||||||||||||
D= | С | D= | С | D= | С | ||||||||||||||||
К | 0,2 | 0,5 | К | 0,25 | К | 0,5 | |||||||||||||||
Ар | 0,25 | Ар | 0,333 | Ар | 0,2 | 0,25 | |||||||||||||||
2. Для определения относительных весов критериев «С», «К» и «Ар» нормализуем полученные матрицы сравнения и найдем средние значения элементов соответствующих строк нормализованной матрицы.
|
|
Петров П.Е. | ||||||
С | К | Ар | wi | |||
ND= | С | 0,681 | ||||
К | 0,118 | |||||
Ар | 0,201 | |||||
Аналогично получаем весовые коэффициенты критериев для других экспертов:
Иванов И.В. | Некрасов Н.Е. | ||||||||||
С | К | Ар | wi | С | К | Ар | wi | ||||
ND= | С | 0,632 | 0,667 | 0,6 | 0,633 | ND= | С | 0,588 | 0,615 | 0,5 | 0,568 |
К | 0,158 | 0,167 | 0,2 | 0,175 | К | 0,294 | 0,308 | 0,4 | 0,334 | ||
Ар | 0,211 | 0,167 | 0,2 | 0,192 | Ар | 0,118 | 0,077 | 0,1 | 0,098 |
3. Проверим: является ли уровень несогласованности полученных матриц парных сравнений приемлемым.
Петров П.Е. | |||||||
= | 0,681 | = | 2,076 | ||||
0,2 | 0,5 | 0,118 | 0,355 | ||||
0,25 | 0,201 | 0,607 |
Отсюда получаем:
nmax = 2,076 + 0,355 + 0,607 = 3,038
Следовательно, для n=3 имеем:
Так как CR<0,1, уровень несогласованности матрицы D является приемлемым.
Аналогично находим:
Иванов И.В. | |||||||
= | 0,633 | = | 1,909 | ||||
0,25 | 0,175 | 0,525 | |||||
0,333 | 0,192 | 0,578 |
Отсюда получаем:
nmax = 3,013
Следовательно, для n=3 имеем:
Так как CR<0,1, уровень несогласованности матрицы D является приемлемым.
Некрасов Н.Е. | |||||||
= | 0,568 | = | 1,727 | ||||
0,5 | 0,334 | 1,011 | |||||
0,2 | 0,25 | 0,098 | 0,295 |
Отсюда получаем:
nmax = 3,033.
Следовательно, для n=3 имеем:
Так как CR<0,1, уровень несогласованности матрицы D является приемлемым.
|
|
В результате мы имеем весовые коэффициенты критериев для каждого эксперта, представленные в Таблица 1.
Таблица 1
Петров П.Е. | Иванов И.В. | Некрасов Н.А. | |
С | 0,681 | 0,633 | 0,568 |
К | 0,118 | 0,175 | 0,334 |
Ар | 0,201 | 0,192 | 0,098 |
Произведем действия, аналогичные пп.1-3, для получения весов альтернативных решений (D, B и С).
1. Матрицы парных сравнений альтернатив в соответствии с каждым критерием.
Петров П.Е. | ||||||||||||||||
DС= | D | В | С | DК= | D | В | С | DАр= | D | В | С | |||||
D | D | D | 0,5 | |||||||||||||
В | В | 0,5 | В | 0,5 | 0,25 | |||||||||||
С | 0,5 | 0,333 | С | 0,333 | 0,5 | С |
Иванов И.В. | ||||||||||||||||
DС= | D | В | С | DК= | D | В | С | DАр= | D | В | С | |||||
D | D | D | ||||||||||||||
В | 0,25 | 0,5 | В | 0,333 | В | 0,333 | ||||||||||
С | 0,333 | С | 0,25 | 0,5 | С | 0,25 | 0,5 |
Некрасов Н.Е. | ||||||||||||||||
DС= | D | В | С | DК= | D | В | С | DАр= | D | В | С | |||||
D | D | D | ||||||||||||||
В | 0,5 | В | 0,333 | В | 0,5 | 0,5 | ||||||||||
С | 0,2 | 0,2 | С | 0,25 | С |
2. Соответствующие нормализованные матрицы и весовые коэффициенты альтернатив:
Петров П.Е. | |||||
NDC= | D | В | С | wi | |
D | 0,4 | 0,429 | 0,333 | 0,387 | |
В | 0,4 | 0,429 | 0,5 | 0,443 | |
С | 0,2 | 0,143 | 0,167 | 0,170 | |
NDК= | D | В | С | wi | |
D | 0,545 | 0,571 | 0,5 | 0,539 | |
В | 0,273 | 0,286 | 0,333 | 0,297 | |
С | 0,182 | 0,143 | 0,167 | 0,164 | |
NDАр= | А | В | С | wi | |
D | 0,286 | 0,286 | 0,286 | 0,286 | |
В | 0,143 | 0,143 | 0,143 | 0,143 | |
С | 0,571 | 0,571 | 0,571 | 0,571 |
Иванов И.В. | |||||
NDC= | D | В | С | wi | |
D | 0,632 | 0,571 | 0,667 | 0,623 | |
В | 0,158 | 0,143 | 0,111 | 0,137 | |
С | 0,211 | 0,286 | 0,222 | 0,239 | |
NDК= | D | В | С | wi | |
D | 0,632 | 0,667 | 0,571 | 0,623 | |
В | 0,211 | 0,222 | 0,286 | 0,239 | |
С | 0,158 | 0,111 | 0,143 | 0,137 | |
NDАр= | D | В | С | wi | |
D | 0,571 | 0,6 | 0,5 | 0,571 | |
В | 0,286 | 0,3 | 0,375 | 0,286 | |
С | 0,143 | 0,1 | 0,125 | 0,143 |
Некрасов Н.Е. | |||||
NDC= | D | В | С | wi | |
D | 0,588 | 0,625 | 0,455 | 0,556 | |
В | 0,294 | 0,313 | 0,455 | 0,354 | |
С | 0,118 | 0,063 | 0,091 | 0,090 | |
NDК= | D | В | С | wi | |
D | 0,632 | 0,667 | 0,571 | 0,623 | |
В | 0,211 | 0,222 | 0,286 | 0,239 | |
С | 0,158 | 0,111 | 0,143 | 0,137 | |
NDАр= | D | В | С | wi | |
D | 0,4 | 0,4 | 0,4 | 0,4 | |
В | 0,2 | 0,2 | 0,2 | 0,2 | |
С | 0,4 | 0,4 | 0,4 | 0,4 |
3. Проверим согласованности матриц сравнений альтернатив.
Столбцы матрицы NDАр (Петров П.Е.) и NDАр (Некрасов Н.Е.) одинаковы. Это имеет место лишь в случае, когда лицо, принимающее решение, проявляет идеальную согласованность в определении элементов матрицы сравнений, т.е. матрица сравнений является согласованной.
Оценим уровень несогласованности остальных матриц сравнений.
Проверим согласованность матрицы сравнений альтернатив в рамках критерия «Спрос», составленную экспертом Петровым П.Е.
= | 0,387 | = | 1,170 | ||||
0,443 | 1,340 | ||||||
0,333 | 0,170 | 0,511 |
Отсюда получаем: nmax = 3,021
Следовательно, для n=3 имеем:
Так как CR<0,1, уровень несогласованности матрицы DС является приемлемым.
Проверим согласованность матрицы сравнений альтернатив в рамках критерия «Конкуренция», составленную экспертом Петровым П.Е.
= | 0,539 | = | 1,625 | ||||
0,5 | 0,297 | 0,894 | |||||
0,333 | 0,5 | 0,164 | 0,492 |
Отсюда получаем: nmax = 3,011
Следовательно, для n=3 имеем:
Так как CR<0,1, уровень несогласованности матрицы DК является приемлемым.
Проверим согласованность матрицы сравнений альтернатив в рамках критерия «Спрос», составленную экспертом Ивановым И.В.
= | 0,623 | = | 1,891 | ||||
0,25 | 0,5 | 0,137 | 0,413 | ||||
0,3333 | 0,239 | 0,722 |
Отсюда получаем: nmax = 3,025
Следовательно, для n=3 имеем:
Так как CR<0,1, уровень несогласованности матрицы DС является приемлемым.
Проверим согласованность матрицы сравнений альтернатив в рамках критерия «Конкуренция», составленную экспертом Ивановым И.В.
= | 0,623 | = | 1,891 | ||||
0,333 | 0,239 | 0,722 | |||||
0,25 | 0,5 | 0,137 | 0,413 |
Отсюда получаем: nmax = 3,025
Следовательно, для n=3 имеем:
Так как CR<0,1, уровень несогласованности матрицы DК является приемлемым.
Проверим согласованность матрицы сравнений альтернатив в рамках критерия «Арендная плата», составленную экспертом Ивановым И.В.
|
|
= | 0,557 | = | 1,688 | ||||
0,5 | 0,320 | 0,967 | |||||
0,25 | 0,333 | 0,123 | 0,369 |
Отсюда получаем: nmax = 3,023
Следовательно, для n=3 имеем:
Так как CR<0,1, уровень несогласованности матрицы DАр является приемлемым.
Проверим согласованность матрицы сравнений альтернатив в рамках критерия «Спрос», составленную экспертом Некрасовым И.В.
= | 0,090 | = | 1,715 | ||||
0,5 | 0,090 | 1,083 | |||||
0,2 | 0,2 | 0,090 | 0,272 |
Отсюда получаем: nmax = 3,071
Следовательно, для n=3 имеем:
Так как CR<0,1, уровень несогласованности матрицы DС является приемлемым.
Проверим согласованность матрицы сравнений альтернатив в рамках критерия «Конкуренция», составленную экспертом Некрасовым И.В.
= | 0,623 | = | 1,891 | ||||
0,333 | 0,239 | 0,722 | |||||
0,25 | 0,5 | 0,137 | 0,413 |
Отсюда получаем: nmax = 3,025
Следовательно, для n=3 имеем:
Так как CR<0,1, уровень несогласованности матрицы DК является приемлемым.
В результате мы имеем весовые коэффициенты альтернатив в соответствии с каждым критерием для каждого эксперта, которые представлены в Таблица 2.
Таблица 2
Петров П.Е. | Иванов И.В. | Некрасов Н.А. | |||||||
С | К | Ар | С | К | Ар | С | К | Ар | |
D | 0,387 | 0,539 | 0,286 | 0,623 | 0,623 | 0,557 | 0,556 | 0,623 | 0,4 |
В | 0,443 | 0,297 | 0,143 | 0,137 | 0,239 | 0,320 | 0,354 | 0,239 | 0,2 |
С | 0,170 | 0,164 | 0,571 | 0,239 | 0,137 | 0,123 | 0,090 | 0,137 | 0,4 |
4. Полученные в результате расчетов данные (Таблица 1 и Таблица 2) для наглядности представим на дереве (Рис. 1).
Комбинированный вес W для каждого города определяется по единой схеме. Например, для города D можно записать:
.
5. Таким образом, в результате проведенных вычислений получаем следующие комбинированные весовые коэффициенты для каждого из городов:
WD= | 0,519 |
WB = | 0,285 |
WC = | 0,195 |
В результате, город D получает наивысший комбинированный вес и, следовательно, является наиболее оптимальным выбором для размещения склада.
Рис. 1